Adultes 💶 Argent et budget Étape 1 / 7 du parcours

Calculer un pourcentage

Calculer un pourcentage sans stress : prendre 15 % d’un prix, trouver un taux, soldes et remises successives, points de pourcentage. Pour adultes.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : La règle de trois

Un pourcentage, c’est une part sur 100 : −30 %, c’est payer 70 sur 100.

Soldes : un manteau à 80 € affiche « −30 % », puis « −20 % supplémentaires ». Vous ne payez pas 40 €, mais 80 × 0,70 × 0,80 = 44,80 €.

Les pourcentages adorent nous jouer des tours. Trois réflexes suffisent pour ne plus se faire avoir.

Ce que veut dire « pour cent »

Définition

$t\ \%$ signifie « $t$ pour 100 », c’est-à-dire la fraction $\dfrac{t}{100}$ . Ainsi $25\ \% = \dfrac{25}{100} = 0{,}25$ et $5{,}5\ \% = 0{,}055$ .

Un pourcentage est donc une proportion : 30 % d’un prix, c’est 30 centimes pour chaque euro. C’est une règle de trois déguisée, où l’on ramène tout à 100.

Réflexe n° 1 : prendre un pourcentage d’une quantité

Calculer t % d’un nombre

t\ \% \text{ de } N = N \times \frac{t}{100}

Le pourboire et l’acompte

Une note de restaurant de 64 € et 15 % de pourboire : $64 \times 0{,}15 = 9{,}60$ €.
Un artisan demande un acompte de 30 % sur un devis de 2 450 € : $2\,450 \times 0{,}30 = 735$ €.

Le calcul mental des pourcentages

10 %, c’est diviser par 10 (on décale la virgule) ; 5 %, c’est la moitié de 10 % ; 1 %, c’est diviser par 100. Donc 15 % de 64 € = 6,40 + 3,20 = 9,60 €. Et 20 %, c’est le double de 10 %.

Réflexe n° 2 : trouver un taux

Quelle part, en pourcentage ?

\text{taux} = \frac{\text{partie}}{\text{total}} \times 100

Votre loyer de 780 € absorbe quelle part d’un revenu de 2 400 € ? $\dfrac{780}{2\,400} \times 100 = 32{,}5\ \%$ .

Réflexe n° 3 : augmenter ou baisser = multiplier

Baisser un prix de 30 %, c’est en garder 70 % : on multiplie par 0,70. Augmenter de 4 %, c’est passer à 104 % : on multiplie par 1,04. Ce nombre s’appelle le coefficient multiplicateur.

Le coefficient multiplicateur

Une hausse de $t\ \%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ .
Une baisse de $t\ \%$ revient à multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ .
Des évolutions successives se multiplient : on enchaîne les coefficients.

Revenons au manteau. Réglez le prix et les deux remises : la barre du bas montre ce que vous payez (en vert) et ce que chaque remise vous fait réellement économiser.

Le calcul : $80 \times 0{,}70 \times 0{,}80 = 80 \times 0{,}56 = 44{,}80$ €. Vous payez 56 % du prix : la remise totale est de 44 %, pas de 50 %. La seconde remise s’applique à un prix déjà baissé (56 €), elle ne vaut donc que 11,20 €.

Pourquoi les remises ne s’additionnent pas ?— facultatif, à sauter en première lecture

Deux baisses de $p$ et $q$ (écrites en décimal) donnent le coefficient $(1-p)(1-q) = 1 - p - q + pq$ . La remise totale vaut donc $p + q - pq$ : c’est la somme, moins le produit $pq$ . Avec 30 % et 20 % : $0{,}3 + 0{,}2 - 0{,}06 = 0{,}44$ . Le terme $pq$ correspond à « la remise sur la remise » : la seconde démarque ne s’applique pas aux 24 € déjà retirés. Pour des petits pourcentages ( $pq$ minuscule), additionner donne une bonne approximation ; pour de gros pourcentages, l’erreur devient énorme.

Exemples résolus de la vie courante

Retrouver le prix avant les soldes

Un canapé soldé −25 % coûte 675 €. Quel était son prix ? On a $\text{prix} \times 0{,}75 = 675$ , donc $\text{prix} = 675 \div 0{,}75 = 900$ €.

Attention au réflexe « j’ajoute 25 % » : $675 \times 1{,}25 = 843{,}75$ €, c’est faux ! Pour revenir en arrière, on divise par le coefficient.

Le « 2ᵉ article à −50 % »

Deux pots de peinture à 38 € chacun, le second à −50 % : vous payez $38 + 19 = 57$ € au lieu de 76 €. Sur l’ensemble, la remise est de $\dfrac{19}{76} = 25\ \%$ seulement. Intéressant… si vous aviez vraiment besoin de deux pots.

Une hausse puis une baisse

Votre abonnement internet passe de 30 € à 33 € (+10 %), puis une promotion le baisse de 10 %. Retour à 30 € ? Non : $30 \times 1{,}10 \times 0{,}90 = 29{,}70$ €. Les deux évolutions ne se compensent pas.

Les pièges classiques

Pourcentage ou point de pourcentage ?

Un taux de crédit qui passe de 3 % à 4 % augmente de 1 point de pourcentage… mais de 33 % en valeur relative ( $\dfrac{4-3}{3} \approx 0{,}33$ ). Les deux formulations sont justes, mais ne disent pas la même chose : méfiez-vous de celle qu’on choisit de vous montrer !

« Jusqu’à −70 % » ne concerne souvent que quelques articles.
Une baisse de 100 % ramène à zéro, mais une hausse peut dépasser 100 % : un prix qui passe de 2 € à 5 € a augmenté de 150 %.
Un pourcentage seul ne dit rien sans sa base : « +50 % de cambriolages » dans un village, c’est peut-être de 2 à 3.

Un peu d’histoire

L’idée de compter « par cent » est très ancienne : sous l’empereur Auguste, les Romains prélevaient la centesima rerum venalium, une taxe d’un centième sur les ventes aux enchères. Au XVᵉ siècle, les marchands et banquiers italiens calculent leurs intérêts per cento, qu’ils abrègent en « p cento », puis « p c° ». À force d’être recopiée à la main, l’abréviation se déforme et devient peu à peu le signe % que nous connaissons. Le pour-mille ‰ en est un cousin direct.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Comparer des promotions : « 3 pour le prix de 2 » est une remise de 33 %, alors que « −30 % sur le 2ᵉ » n’est qu’une remise de 15 % sur les deux articles.
Négocier un salaire : passer de 2 300 € à 2 450 € brut, c’est une hausse de $\dfrac{150}{2\,300} \approx 6{,}5\ \%$ .
Lire une fiche de paie ou un relevé : des frais bancaires de 1,5 % sur un paiement de 200 € à l’étranger coûtent 3 €.
Suivre son budget : 450 € de courses sur 2 600 € de revenus, c’est environ 17 % du budget.
Comprendre l’actualité : un parti qui passe de 20 % à 25 % dans un sondage gagne 5 points, soit un quart d’électeurs en plus.

🎯 Quiz : vérifiez ce que vous avez compris

Combien valent 15 % de 240 € (en €) ?
Un jean à 60 € est soldé à −30 %, puis −20 % supplémentaires. Quel est son prix final (en €) ?
Deux remises successives de 30 % et 20 % correspondent à une remise totale de :
Après une remise de 20 %, un vélo coûte 360 €. Quel était son prix avant la remise (en €) ?
Sur un revenu de 2 500 €, vous dépensez 650 € de loyer. Quelle part (en %) ?
Un taux passe de 2 % à 3 %. Quelle phrase est juste ?