Adultes 💶 Argent et budget Étape 4 / 7 du parcours

Intérêts composés et épargne

Intérêts composés et intérêts simples : comment une épargne grossit avec le temps, la formule C × (1 + t)ⁿ et la règle des 72 pour doubler un capital.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Calculer un pourcentage

Avec les intérêts composés, les intérêts rapportent eux aussi des intérêts.

Deux grands-parents placent chacun 5 000 € à 3 % par an pour leur petite-fille. Dix-huit ans plus tard, l’un des pots contient 812 € de plus que l’autre.

Même somme, même taux, même durée : la différence, ce sont les intérêts composés. Ils font fructifier l’épargne… mais aussi gonfler les dettes.

8 512 €7 700 €composéssimples018 ans
Un cours de maths, pas un conseil

Les taux de cette page sont des exemples pour comprendre les calculs. Ils ne tiennent compte ni des impôts, ni des frais, ni du risque, et ne constituent pas une recommandation de placement.

Intérêts simples : toujours la même somme

Intérêts simples

Avec des intérêts simples, les intérêts sont calculés chaque année sur le capital de départ uniquement. Un capital CC placé à un taux annuel tt pendant nn années devient :

Cn=C×(1+n×t)C_n = C \times (1 + n \times t)

5 000 € à 3 % rapportent 150 € par an, toujours 150 €. Au bout de 18 ans : 5 000+18×150=7 7005\,000 + 18 \times 150 = 7\,700 €. La croissance est linéaire : une droite.

Intérêts composés : les intérêts produisent des intérêts

Intérêts composés

Avec des intérêts composés, les intérêts de chaque année sont ajoutés au capital, et produisent à leur tour des intérêts. Chaque année, le capital est multiplié par 1+t1 + t :

Cn=C×(1+t)nC_n = C \times (1 + t)^n

La première année, on gagne 150 €. La deuxième, 3 % de 5 150 €, soit 154,50 €. La troisième, 3 % de 5 304,50 €… Au bout de 18 ans : 5 000×1,0318≈8 5125\,000 \times 1{,}03^{18} \approx 8\,512 €, soit 812 € de plus qu’avec les intérêts simples.

Voir la différence grandir

Réglez le capital, le taux et la durée. La droite bleue (intérêts simples) et la courbe orange (intérêts composés) partent ensemble… puis s’écartent de plus en plus. Le point vert marque le moment où le capital a doublé.

Intérêts simples ou composés ?

━ intérêts composés ━ intérêts simples ┅ capital doublé

Le secret des intérêts composés, c’est le temps. Sur 2 ou 3 ans, la différence est minuscule. Sur 25 ou 40 ans, elle devient spectaculaire : c’est une croissance exponentielle.

La règle des 72 : doubler son capital

La règle des 72

À un taux annuel de t %t\ \%, un capital placé à intérêts composés double en environ

72t anneˊes.\frac{72}{t} \text{ années.}

À 4 % : environ 18 ans. À 6 % : environ 12 ans. À 2 % : environ 36 ans.

D’où vient ce 72 ?— facultatif, à sauter en première lecture

On cherche nn tel que (1+t)n=2(1+t)^n = 2, soit n=ln⁡2ln⁡(1+t)n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1+t)}. Pour un petit taux, ln⁡(1+t)≈t\ln(1+t) \approx t, et ln⁡2≈0,693\ln 2 \approx 0{,}693 : on obtient n≈69,3t (en %)n \approx \dfrac{69{,}3}{t\,(\text{en }\%)}. Pourquoi alors 72 et pas 69 ? Parce que l’approximation ln⁡(1+t)≈t\ln(1+t) \approx t est un peu trop généreuse : 72 corrige l’erreur pour les taux usuels (entre 4 et 10 %), et surtout 72 se divise par 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 12, ce qui rend le calcul mental très facile. À 4 %, le calcul exact donne 17,7 ans : la règle annonce 18.

Exemples résolus

Un livret pendant 10 ans

Vous placez 5 000 € à 3 % par an, intérêts composés, pendant 10 ans.

  1. Coefficient annuel : 1+0,03=1,031 + 0{,}03 = 1{,}03.
  2. Capital final : 5 000×1,0310≈5 000×1,3439≈6 7205\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 5\,000 \times 1{,}3439 \approx 6\,720 €.
  3. Intérêts gagnés : environ 1 720 €, contre 1 500 € en intérêts simples.
Épargner 100 € par mois

Vous versez 100 € chaque mois pendant 20 ans sur un placement à 3 % par an (soit 0,25 % par mois, intérêts composés chaque mois). Vous aurez versé 100×240=24 000100 \times 240 = 24\,000 €. Grâce aux intérêts composés, le total atteint environ 32 800 €. On l’obtient en additionnant tous les versements, chacun ayant grossi pendant le temps restant :

100×1,0025240−10,0025≈32 830 euros.100 \times \frac{1{,}0025^{240} - 1}{0{,}0025} \approx 32\,830\ \text{euros}.
Le revers de la médaille : la dette

Les intérêts composés jouent aussi contre vous. Une dette de 1 000 € qui n’est jamais remboursée, avec un taux de 20 % par an (l’ordre de grandeur de certains crédits renouvelables), devient 1 000×1,25≈2 4881\,000 \times 1{,}2^5 \approx 2\,488 € en 5 ans. Règle des 72 : 72÷20≈3,672 \div 20 \approx 3{,}6 ans pour doubler.

Les pièges
  • Ne pas additionner les intérêts année après année : 3 % par an pendant 10 ans ne font pas « +30 % », mais 1,0310−1≈+34 %1{,}03^{10} - 1 \approx +34\ \%.
  • Taux nominal ≠ gain réel : si les prix augmentent de 2 % par an, un placement à 3 % ne fait gagner qu’environ 1 % de pouvoir d’achat (voir la leçon sur l’inflation).
  • Les taux changent : le taux du Livret A, fixé par l’État, est passé de 3 % (2023-2024) à 2,4 % en février 2025, puis à 1,7 % en août 2025. Une projection sur 20 ans à taux fixe reste une hypothèse.
Un peu d’histoire

Les intérêts composés fascinent depuis longtemps. Dès 1494, le moine italien Luca Pacioli, ami de Léonard de Vinci, donne dans son grand traité d’arithmétique une règle pour savoir en combien d’années un capital double : diviser 72 par le taux. Il ne l’explique pas, ce qui laisse penser qu’elle circulait déjà chez les marchands. Bien plus tard, on a prêté à Albert Einstein la phrase « les intérêts composés sont la huitième merveille du monde » : la citation est très célèbre… mais personne n’a jamais retrouvé de trace qu’il l’ait prononcée !

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Préparer un projet : pour avoir 10 000 € dans 8 ans à 2,5 % par an, il faut placer aujourd’hui environ 10 000÷1,0258≈8 20710\,000 \div 1{,}025^8 \approx 8\,207 €.
  • Mesurer l’effet du temps : 10 000 € à 4 % deviennent environ 14 800 € en 10 ans, mais 48 000 € en 40 ans.
  • Comprendre une dette : un découvert ou un crédit non remboursé à 15 % double en un peu moins de 5 ans (72÷15≈4,872 \div 15 \approx 4{,}8).
  • Lire les projections de retraite : les simulations d’épargne-retraite reposent toutes sur la formule C×(1+t)nC \times (1+t)^n, avec un taux supposé : changez le taux d’un point, et le résultat sur 30 ans change de plusieurs dizaines de pourcents.
  • Au-delà de l’argent : une population qui croît de 1 % par an double en environ 72 ans, une ville qui gagne 3 % d’habitants par an double en 24 ans.

🎯 Quiz : vérifiez ce que vous avez compris

  1. 2 000 € placés à 5 % d’intérêts simples pendant 4 ans. Capital final (en €) ?

  2. Les mêmes 2 000 € à 5 % d’intérêts composés pendant 2 ans donnent (en €) :

  3. D’après la règle des 72, en combien d’années environ un capital double-t-il à 8 % ?

  4. La formule d’un capital C placé n années à intérêts composés au taux t est :

  5. Une dette de 500 € à 24 % par an n’est pas remboursée. En combien d’années environ double-t-elle (règle des 72) ?

  6. Un placement à 3 % par an pendant 10 ans fait gagner :

Autres leçons — Maths du quotidien

Adultes 🔢 Nombres et calcul La règle de trois La règle de trois et le produit en croix expliqués aux adultes : courses, recettes, carburant, temps partiel. Une méthode sûre, pas à pas. Adultes 💶 Argent et budget Calculer un pourcentage Calculer un pourcentage sans stress : prendre 15 % d’un prix, trouver un taux, soldes et remises successives, points de pourcentage. Pour adultes. Adultes 💶 Argent et budget HT, TTC et TVA HT, TTC et TVA : passer du prix hors taxes au prix toutes taxes comprises et inversement, avec les taux français de 20 %, 10 %, 5,5 % et 2,1 %.