Adultes 🔢 Nombres et calcul Étape 27 / 29 du parcours

La règle de trois

La règle de trois et le produit en croix expliqués aux adultes : courses, recettes, carburant, temps partiel. Une méthode sûre, pas à pas.

La règle de trois trouve une valeur manquante quand deux grandeurs sont proportionnelles.

Au marché, 3 kg de pommes coûtent 7,50 €. Vous en voulez 5 kg : $7{,}50 \times 5 \div 3 = 12{,}50$ €.

Trois nombres connus, un nombre cherché, et une méthode qui ne se trompe jamais… à condition de savoir quand l’utiliser.

Quand peut-on utiliser la règle de trois ?

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient de proportionnalité). Si l’on double l’une, l’autre double ; si l’on divise l’une par 3, l’autre est divisée par 3.

Le prix des pommes est proportionnel à leur masse (2,50 € le kilo, quel que soit le nombre de kilos). La quantité de farine est proportionnelle au nombre de convives. La consommation de carburant est (à peu près) proportionnelle à la distance parcourue. Dans tous ces cas, la règle de trois s’applique.

Le produit en croix en action

On range les nombres dans un tableau à quatre cases : la première ligne pour une grandeur, la seconde pour l’autre. Choisissez une situation, modifiez les nombres, puis cliquez sur ▶ Animer le calcul pour voir les deux étapes.

Le produit en croix

Dans un tableau de proportionnalité :

$a$	$c$
$b$	$?$

la case manquante vaut

? = \frac{b \times c}{a}

On multiplie les deux nombres en diagonale, puis on divise par le troisième.

Pour les pommes : $? = \dfrac{7{,}50 \times 5}{3} = \dfrac{37{,}5}{3} = 12{,}50$ €.

L’autre méthode : passer par l’unité

C’est la méthode « historique », celle que l’on enseignait à l’école primaire il y a cinquante ans, et elle reste très parlante :

3 kg coûtent 7,50 € ;
donc 1 kg coûte $7{,}50 \div 3 = 2{,}50$ € ;
donc 5 kg coûtent $2{,}50 \times 5 = 12{,}50$ €.

Les deux méthodes font exactement les mêmes opérations, dans un ordre différent. Choisissez celle qui vous parle le plus… ou celle qu’utilise votre enfant, pour l’aider sans l’embrouiller !

Pourquoi le produit en croix marche-t-il ?— facultatif, à sauter en première lecture

Si les grandeurs sont proportionnelles, le rapport « ligne du bas ÷ ligne du haut » est le même dans les deux colonnes : $\dfrac{b}{a} = \dfrac{?}{c}$ . En multipliant les deux côtés par $c$ , on obtient $? = \dfrac{b}{a} \times c = \dfrac{b \times c}{a}$ . Le fameux « produit en croix » n’est donc rien d’autre que : trouver le coefficient $\dfrac{b}{a}$ , puis l’appliquer. On en déduit aussi l’égalité $a \times ? = b \times c$ : les produits en diagonale sont égaux.

Exemples résolus de la vie courante

Le gâteau d’anniversaire

La recette du gâteau au chocolat est prévue pour 6 personnes et demande 180 g de sucre. Vous attendez 8 enfants.

Personnes	6	8
Sucre (g)	180	?

$? = \dfrac{180 \times 8}{6} = \dfrac{1\,440}{6} = 240$ g de sucre.

Le plein pour les vacances

Votre voiture consomme 6,5 L aux 100 km. Le trajet fait 340 km. Avec un gazole à 1,70 € le litre (prix d’exemple), combien coûte le carburant ?

Litres : $\dfrac{6{,}5 \times 340}{100} = 22{,}1$ L.
Prix : $22{,}1 \times 1{,}70 \approx 37{,}57$ €. C’est encore une proportionnalité (prix proportionnel au nombre de litres) !

Le passage à temps partiel

Pour 35 h par semaine, un salaire est de 2 100 € brut par mois. Quel serait-il à 28 h (un « 4/5 ») ?

$? = \dfrac{2\,100 \times 28}{35} = 1\,680$ € brut. On peut aussi remarquer que $28 = \dfrac{4}{5} \times 35$ , donc le salaire est multiplié par $\dfrac{4}{5}$ : $2\,100 \times 0{,}8 = 1\,680$ €.

Le raccourci du coefficient

Avant de dégainer la calculatrice, regardez si un rapport simple saute aux yeux : pour passer de 6 à 9 personnes, on multiplie par 1,5 ; donc 180 g de sucre deviennent $180 \times 1{,}5 = 270$ g. Plus rapide, et on vérifie l’ordre de grandeur d’un coup d’œil.

Les pièges : quand la règle de trois ne marche pas

Vérifiez toujours la proportionnalité

Une part fixe casse la proportionnalité : un taxi qui facture 4 € de prise en charge + 2 € par km coûte 24 € pour 10 km, mais pas 48 € pour 20 km (c’est 44 €).
Les situations « inverses » : si 4 peintres mettent 6 jours pour repeindre une maison, 8 peintres ne mettent pas 12 jours… mais plutôt 3 ! Plus il y a de monde, moins c’est long : c’est une proportionnalité inverse.
Les lots et promotions : « 1 pack de 6 à 4,20 € » ne garantit pas que 12 bouteilles achetées à l’unité coûteront 8,40 €.
Les unités : 1 h 30 ne s’écrit pas 1,30 h mais 1,5 h. Mélanger minutes et heures fausse tout le calcul.

Un peu d’histoire

La règle de trois est très ancienne. Les mathématiciens indiens l’appelaient trairāśika, « les trois quantités », et Brahmagupta la décrit au VIIᵉ siècle. Transmise par les savants du monde arabe, elle arrive en Europe au Moyen Âge : en 1202, Léonard de Pise, dit Fibonacci, la met à toutes les sauces dans son Liber abaci, un manuel destiné aux marchands. Pendant des siècles, les commerçants l’ont surnommée la « règle d’or », tant elle servait à tout : changer des monnaies, partager des bénéfices, convertir des poids. Les écoliers français l’ont apprise par cœur jusqu’aux années 1970.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Comparer les prix au kilo : un paquet de café de 250 g à 3,40 € revient à 13,60 € le kilo ; un paquet de 1 kg à 12,90 € est donc plus avantageux.
Diluer un produit : la notice indique 20 mL de produit pour 10 L d’eau ; pour un pulvérisateur de 6 L, il faut $\dfrac{20 \times 6}{10} = 12$ mL.
Lire un plan : sur un plan où 2 cm représentent 1 m, une pièce dessinée sur 9 cm mesure en réalité 4,5 m.
Calculer une durée : si vous lisez 30 pages en 45 minutes, un roman de 280 pages vous demandera environ $\dfrac{45 \times 280}{30} = 420$ minutes, soit 7 heures.
Convertir des devises : si 1 € vaut 1,10 dollar (taux d’exemple, il varie chaque jour), un hôtel à 154 dollars coûte $\dfrac{154 \times 1}{1{,}10} = 140$ €.

🎯 Quiz : vérifiez ce que vous avez compris

4 croissants coûtent 5,20 €. Combien coûtent 7 croissants (en €) ?
Dans le tableau « 5 → 8 » et « 15 → ? », la case manquante vaut :
Une recette pour 6 personnes demande 900 g de pommes de terre. Combien en faut-il pour 4 personnes (en g) ?
Laquelle de ces situations n’est PAS proportionnelle ?
Votre voiture consomme 5 L aux 100 km. Combien de litres pour 460 km ?
Un salarié gagne 1 800 € pour 35 h par semaine. Combien gagnerait-il, au même taux horaire, pour 21 h (en €) ?