Tle 🔢 Nombres et calcul Étape 26 / 29 du parcours

Les nombres complexes

Les nombres complexes en Terminale (maths expertes) : forme algébrique, conjugué, plan complexe, module, argument et multiplication vue comme une rotation.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le cercle trigonométrique , Les vecteurs , Les fonctions du second degré

Avec i, dont le carré vaut −1, multiplier revient à tourner.

Dans un jeu vidéo, faire tourner un personnage demande des sinus et des cosinus à chaque image. Avec les nombres complexes, une seule multiplication suffit. Multiplier $2 + i$ par $i$ donne $-1 + 2i$ : le même point, tourné d’un quart de tour.

Accueillis avec méfiance au XVIe siècle, ils font aujourd’hui tourner les moteurs électriques et compressent tes photos et tes musiques.

La forme algébrique

Définition

Il existe un ensemble de nombres, noté $\mathbb{C}$ , qui contient tous les réels, muni d’une addition et d’une multiplication qui suivent les mêmes règles que dans $\mathbb{R}$ , et qui contient un nombre $i$ tel que :

i^2 = -1

Tout nombre complexe $z$ s’écrit de façon unique $z = a + ib$ , avec $a$ et $b$ réels : c’est sa forme algébrique. $a$ est la partie réelle $\text{Re}(z)$ , $b$ la partie imaginaire $\text{Im}(z)$ .

Si $b = 0$ , $z$ est un réel ; si $a = 0$ , on dit que $z$ est imaginaire pur. Deux complexes sont égaux quand ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

On calcule comme avec des expressions littérales, en remplaçant $i^2$ par $-1$ :

(2 + i)(1 + 3i) = 2 + 6i + i + 3i^2 = 2 + 7i - 3 = -1 + 7i

Conjugué

Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar{z} = a - ib$ . On a $z \times \bar{z} = a^2 + b^2$ , qui est un réel positif.

Le conjugué sert à diviser : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, ce qui rend celui-ci réel.

Un peu d’histoire

Les nombres complexes ne sont pas nés des équations du second degré, mais du troisième ! En 1545, l’Italien Jérôme Cardan publie une formule pour résoudre les équations de degré 3. Problème : pour $x^3 = 15x + 4$ , dont la solution $x = 4$ saute aux yeux, la formule fait apparaître $\sqrt{-121}$ ! Vers 1572, Rafael Bombelli ose calculer avec ces racines « impossibles » comme si elles existaient… et retombe bien sur 4. Descartes les qualifie d’« imaginaires » en 1637, Euler introduit la lettre $i$ en 1777, et autour de 1800, Wessel, Argand puis Gauss les représentent comme des points du plan : c’est le plan que tu vas découvrir.

Le plan complexe

On associe à $z = a + ib$ le point $M(a ; b)$ d’un repère orthonormé : $z$ est l’affixe de $M$ (et du vecteur $\overrightarrow{OM}$ ). L’axe des abscisses porte les réels, celui des ordonnées les imaginaires purs.

Module et argument

Le module de $z$ est la distance $OM$ : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Si $z \neq 0$ , un argument de $z$ , noté $\arg(z)$ , est une mesure de l’angle $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ entre l’axe des réels et $\overrightarrow{OM}$ (défini à $2\pi$ près).

On peut alors écrire $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $\theta = \arg(z)$ : c’est la forme trigonométrique, notée aussi $z = |z|\,e^{i\theta}$ (forme exponentielle).

Multiplier, c’est tourner et agrandir

C’est la propriété magique des complexes :

Module et argument d’un produit

Pour $z$ et $w$ non nuls :

|zw| = |z| \times |w| \qquad \arg(zw) = \arg(z) + \arg(w) \quad (\text{à } 2\pi \text{ près})

Autrement dit, multiplier $z$ par $w$ , c’est faire tourner $z$ de l’angle $\arg(w)$ autour de $O$ et multiplier sa distance à $O$ par $|w|$ . En forme exponentielle : $r e^{i\theta} \times r' e^{i\theta'} = rr' \, e^{i(\theta + \theta')}$ .

Déplace les points $z$ (bleu) et $w$ (vert) : le produit $zw$ (rouge) se place à l’angle somme, à une distance égale au produit des distances. Clique sur « $w = i$ » : multiplier par $i$ , c’est tourner d’un quart de tour. Affiche ensuite les puissances de $w$ : elles s’enroulent en spirale (ou sur le cercle si $|w| = 1$ ).

Avec $w = -1$ , on fait un demi-tour : c’est pourquoi $(-1) \times (-1) = 1$ (deux demi-tours font un tour), et pourquoi $i \times i = -1$ (deux quarts de tour font un demi-tour).

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi $|zw| = |z| \times |w|$ ? Écris $z = a + ib$ et $w = c + id$ . Alors $zw = (ac - bd) + i(ad + bc)$ , et

|zw|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2,

car les doubles produits $-2abcd$ et $+2abcd$ s’annulent. Ce résultat se factorise :

a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = |z|^2\,|w|^2.

Les modules étant positifs, $|zw| = |z|\,|w|$ . Pour l’argument, on passe par la forme exponentielle : $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ découle des formules d’addition du cosinus et du sinus.

Exemples résolus

Exemple 1 : diviser deux complexes

Écrire $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ sous forme algébrique. On multiplie en haut et en bas par $\overline{1 - i} = 1 + i$ :

\frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i

Exemple 2 : faire pivoter un sprite de jeu vidéo

Un vaisseau est au point d’affixe $z = 4 + 2i$ . Pour le faire tourner d’un quart de tour autour de l’origine, on calcule $iz = 4i + 2i^2 = -2 + 4i$ .

Vérification : $|z| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ et $|-2 + 4i| = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ : la distance au centre est conservée. Pour une rotation de 30°, on multiplierait par $e^{i\pi/6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ .

Exemple 3 : une équation sans solution réelle

Résoudre $z^2 - 2z + 5 = 0$ . Le discriminant vaut $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ : pas de solution réelle. Mais $-16 = (4i)^2$ , donc dans $\mathbb{C}$ :

z_1 = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i \qquad z_2 = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i

Les deux solutions sont conjuguées. En général, si $\Delta < 0$ : $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .

Les pièges classiques

$i^2 = -1$ , mais on n’écrit jamais $i = \sqrt{-1}$ : la racine carrée n’est définie que pour les réels positifs.
La partie imaginaire de $3 - 5i$ est $-5$ , et non $-5i$ : c’est un réel.
$|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , et non $a + b$ .
Pas d’ordre dans $\mathbb{C}$ : écrire $z < w$ n’a aucun sens pour des complexes non réels.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Électricité : les ingénieurs décrivent un circuit en courant alternatif par une impédance complexe, comme $Z = 30 + 40j$ ohms (les électriciens notent $j$ au lieu de $i$ ). Son module $|Z| = 50$ Ω donne le courant : sous 230 V, $I = \frac{230}{50} = 4{,}6$ A.
Musique et images : la transformée de Fourier découpe un son en fréquences à l’aide des nombres $e^{i\theta}$ ; ses variantes sont au cœur des formats MP3 et JPEG. Le MP3 divise ainsi par 10 environ la taille d’un fichier audio.
Jeux vidéo et robotique : une rotation d’angle $\theta$ se code par une multiplication par $e^{i\theta}$ . Les moteurs 3D utilisent une généralisation, les quaternions, pour orienter caméras et personnages 60 fois par seconde.
Fractales : l’ensemble de Mandelbrot est obtenu en itérant $z \mapsto z^2 + c$ dans le plan complexe ; on colorie chaque point $c$ selon la vitesse à laquelle $|z|$ dépasse 2.
Physique quantique : l’état d’un électron est décrit par une « fonction d’onde » à valeurs complexes ; les ordinateurs quantiques manipulent directement des amplitudes complexes.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut i² ?
Quelle est la partie réelle de (2 + i)(3 − i) ?
Quel est le module de 6 + 8i ?
Multiplier un nombre complexe par i revient à le faire tourner autour de O de :
Dans un jeu, un robot est en z = 3 + i. On le fait pivoter d’un demi-tour autour de l’origine (multiplication par −1). Quelle est la partie imaginaire de sa nouvelle position ?
Un circuit a pour impédance Z = 6 + 8j ohms. Quel courant (en A) traverse-t-il sous une tension de 230 V ? (I = 230/|Z|)