2nde 📐 Géométrie Étape 26 / 27 du parcours

Équations de droites

Équations de droites en 2nde : équation réduite y = mx + p, coefficient directeur calculé à partir de deux points, droites parallèles et verticales.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Fonctions linéaires et fonctions affines , Le repérage dans le plan

Toute droite non verticale a une équation y = mx + p.

Un taxi coûte 17,60 € pour 8 km, et 29,15 € pour 15 km. Deux points… et une seule droite passe par eux.

Son équation, $y = 1{,}65x + 4{,}40$ , dévoile le tarif caché : 1,65 € le kilomètre et 4,40 € de prise en charge.

Qu’est-ce qu’une équation de droite ?

Une équation de droite est une condition sur les coordonnées $(x\,;\,y)$ d’un point : le point est sur la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l’égalité.

Les deux formes d’équation réduite

Dans un repère du plan :

une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme $y = mx + p$ ;
une droite parallèle à l’axe des ordonnées (verticale) a une équation de la forme $x = c$ .

Le nombre $m$ est le coefficient directeur (ou pente) et $p$ l’ordonnée à l’origine : la droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0\,;\,p)$ .

Un peu d’histoire

L’idée de décrire une droite ou une courbe par une équation est née en France, presque en même temps chez deux hommes. René Descartes la publie en 1637 dans La Géométrie, une annexe de son célèbre Discours de la méthode. Pierre de Fermat, magistrat à Toulouse qui faisait des mathématiques en amateur, l’avait trouvée de son côté vers 1636 : il écrit qu’une équation du premier degré à deux inconnues représente toujours une droite. C’est en hommage à Descartes qu’on parle aujourd’hui de repère « cartésien ».

Tu reconnais la représentation graphique de la fonction affine $x \mapsto mx + p$ . Seules les droites verticales ne sont pas des courbes de fonctions : à une abscisse $c$ correspondent une infinité de points.

Le coefficient directeur à partir de deux points

Quand on avance de 1 en abscisse le long de la droite, on monte (ou on descend) de $m$ . Plus généralement, le rapport « montée / avancée » est le même partout sur la droite.

Formule du coefficient directeur

Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ sont deux points de la droite avec $x_A \neq x_B$ , alors :

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\Delta y}{\Delta x}

Puis on trouve $p$ en écrivant que $A$ est sur la droite : $y_A = m\,x_A + p$ , donc $p = y_A - m\,x_A$ .

Attrape les points $A$ et $B$ et déplace-les sur le quadrillage. L’escalier vert et orange montre $\Delta x$ et $\Delta y$ , la droite bleue se met à jour et son équation réduite s’affiche. Essaie de rendre la droite horizontale, puis verticale.

Remarque : si $m > 0$ la droite monte, si $m < 0$ elle descend, si $m = 0$ elle est horizontale ( $y = p$ ). Quand $x_A = x_B$ , on ne peut pas diviser par $\Delta x = 0$ : la droite est verticale.

Exemples résolus

Exemple 1 : le tarif du taxi

On note $x$ la distance en km et $y$ le prix en €. Les deux courses donnent $A(8\,;\,17{,}60)$ et $B(15\,;\,29{,}15)$ .

Coefficient directeur : $m = \dfrac{29{,}15 - 17{,}60}{15 - 8} = \dfrac{11{,}55}{7} = 1{,}65$ .
Ordonnée à l’origine : $p = 17{,}60 - 1{,}65 \times 8 = 17{,}60 - 13{,}20 = 4{,}40$ .
Équation : $y = 1{,}65x + 4{,}40$ . Le kilomètre coûte 1,65 € et la prise en charge 4,40 €.
Vérification avec $B$ : $1{,}65 \times 15 + 4{,}40 = 24{,}75 + 4{,}40 = 29{,}15$ . ✔

Exemple 2 : un point est-il sur la droite ?

La droite $d$ a pour équation $y = -2x + 5$ . Le point $C(3\,;\,-1)$ est-il sur $d$ ?

On remplace $x$ par 3 : $-2 \times 3 + 5 = -1$ . On trouve bien l’ordonnée de $C$ , donc $C \in d$ . En revanche $E(1\,;\,4)$ n’est pas sur $d$ , car $-2 \times 1 + 5 = 3 \neq 4$ .

Droites parallèles, droites sécantes

Parallélisme

Deux droites d’équations $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : $m = m'$ . Sinon, elles sont sécantes.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Cherchons si les droites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ ont un point commun. Il faut $mx + p = m'x + p'$ , soit $(m - m')\,x = p' - p$ .

Si $m \neq m'$ , on peut diviser : $x = \dfrac{p' - p}{m - m'}$ . Il y a exactement un point commun : les droites sont sécantes.
Si $m = m'$ , l’équation devient $0 = p' - p$ . Soit $p = p'$ et les droites sont confondues, soit $p \neq p'$ et il n’y a aucun point commun : elles sont strictement parallèles.

Exemple 3 : tracer une parallèle

On cherche la droite parallèle à $y = 3x - 2$ passant par $F(1\,;\,7)$ .

Même coefficient directeur : $y = 3x + p$ .
$F$ est sur la droite : $7 = 3 \times 1 + p$ , donc $p = 4$ .
Réponse : $y = 3x + 4$ .

Pour aller plus loin : l’équation cartésienne

Toute droite a aussi une équation de la forme $ax + by + c = 0$ , appelée équation cartésienne. Le vecteur $\vec{u}(-b\,;\,a)$ est alors un vecteur directeur : il indique la direction de la droite. Par exemple, $2x - y + 3 = 0$ s’écrit aussi $y = 2x + 3$ , et $\vec{u}(1\,;\,2)$ la dirige.

Les pièges classiques

Garde le même ordre en haut et en bas : $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , pas $\dfrac{y_B - y_A}{x_A - x_B}$ .
C’est $\Delta y$ sur $\Delta x$ , et non l’inverse.
Une droite verticale n’a pas de coefficient directeur : son équation est $x = c$ , sans $y$ .
Vérifie toujours ton équation avec le deuxième point : une erreur de signe se voit tout de suite.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Tarifs et économie : un forfait téléphone à 8 € plus 0,05 € par Go supplémentaire, c’est la droite $y = 0{,}05x + 8$ . Comparer deux forfaits revient à chercher le point où leurs droites se croisent.
Physique : un ressort mesure 12 cm au repos et s’allonge de 0,5 cm par newton. Sa longueur est $L = 0{,}5F + 12$ ; en labo, on retrouve ce coefficient en traçant la droite qui passe au mieux par les mesures.
Routes et accessibilité : une rampe pour fauteuil roulant doit avoir une pente d’au plus 5 %, soit $m \leqslant 0{,}05$ . Pour monter une marche de 15 cm, il faut donc au moins 3 m de rampe.
Jeux vidéo : pour savoir si un tir laser touche une cible, le moteur du jeu calcule l’équation de la droite du tir à partir de deux points (l’arme et le viseur), puis teste si la cible vérifie l’équation.
Conversion d’unités : les degrés Fahrenheit se calculent par $F = 1{,}8C + 32$ . Avec deux repères connus (0 °C = 32 °F et 100 °C = 212 °F), tu retrouves $m = \dfrac{212 - 32}{100 - 0} = 1{,}8$ .

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quel est le coefficient directeur de la droite passant par A(1 ; 2) et B(3 ; 8) ?
La droite d’équation y = −4x + 7 coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée :
Quelle droite est parallèle à y = 2x − 5 ?
La droite passant par A(4 ; 1) et B(4 ; −3) a pour équation :
Une location de vélo coûte 9 € pour 2 h et 15 € pour 4 h (tarif affine). Combien coûte une heure supplémentaire (en €) ?
Un plombier facture 50 € de déplacement puis 40 € de l’heure. Combien paie-t-on pour 2,5 h de travail (en €) ?