2nde 🔢 Nombres et calcul Étape 25 / 29 du parcours

Intervalles et valeur absolue

Intervalles et valeur absolue en 2nde : notations avec crochets, distance entre deux réels et inégalité |x − a| ≤ r traduite en intervalle.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les nombres relatifs , Les inéquations

Un intervalle est un morceau de droite ; la valeur absolue mesure une distance.

Sur la notice d’un frigo, on lit : « 4 °C, à 2 °C près ». Un centre, 4, et un écart autorisé, 2 : la température doit rester entre 2 °C et 6 °C.

En maths, c’est l’intervalle ${[2\,;\,6]}$ , ou avec la valeur absolue : ${|x - 4| \leqslant 2}$ .

Les intervalles

Un intervalle, c’est un « morceau sans trou » de la droite des réels. On l’écrit avec deux bornes et des crochets.

Définition

Soit $a$ et $b$ deux réels avec $a < b$ .

$[a\,;\,b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$ : les bornes sont comprises (crochets tournés vers l’intérieur) ;
$]a\,;\,b[$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x < b$ : les bornes sont exclues (crochets tournés vers l’extérieur) ;
on mélange aussi : $[a\,;\,b[$ correspond à $a \leqslant x < b$ .

Quand l’intervalle n’a pas de fin, on utilise le symbole $+\infty$ (plus l’infini) ou $-\infty$ . Ce ne sont pas des nombres : le crochet est donc toujours ouvert de leur côté.

Inégalité	Intervalle	Sur la droite
$x \geqslant 3$	$[3\,;\,+\infty[$	de 3 (compris) vers la droite
$x < -1$	$]-\infty\,;\,-1[$	tout ce qui est à gauche de −1 (exclu)
$-2 < x \leqslant 5$	$]-2\,;\,5]$	entre −2 (exclu) et 5 (compris)

L’ensemble de tous les réels s’écrit $\mathbb{R} = ]-\infty\,;\,+\infty[$ .

Réunion et intersection

L’intersection $I \cap J$ contient les réels qui sont dans $I$ et dans $J$ ; la réunion $I \cup J$ ceux qui sont dans $I$ ou dans $J$ . Exemple : $[0\,;\,5] \cap [3\,;\,8] = [3\,;\,5]$ et $[0\,;\,5] \cup [3\,;\,8] = [0\,;\,8]$ .

La valeur absolue

Définition

La valeur absolue d’un réel $x$ , notée $|x|$ , est sa distance à 0 sur la droite graduée :

|x| = x \text{ si } x \geqslant 0 \qquad \text{et} \qquad |x| = -x \text{ si } x < 0.

Ainsi $|7| = 7$ , $|-7| = 7$ et $|0| = 0$ . Une valeur absolue n’est jamais négative : c’est une distance. Le signe « − » dans $-x$ ne fait que rendre positif un nombre qui ne l’était pas.

Un peu d’histoire

Les notations de cette leçon sont plus jeunes qu’on ne le croit. Le symbole $\infty$ a été introduit par l’Anglais John Wallis en 1655. Les barres $|x|$ de la valeur absolue sont dues à l’Allemand Karl Weierstrass, en 1841. Et les crochets tournés vers l’extérieur, comme $]a\,;\,b[$ , sont une habitude surtout française : on l’attribue à Bourbaki, un groupe de mathématiciens français qui publiait à partir des années 1930 sous le nom d’un savant imaginaire, Nicolas Bourbaki. Dans beaucoup de pays, on écrit plutôt $(a, b)$ pour un intervalle ouvert.

Plus généralement, la distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|a - b|$ (ou $|b - a|$ , c’est pareil). Par exemple, entre −3 °C la nuit et 5 °C le jour, l’écart de température est $|5 - (-3)| = 8$ °C.

Voir la distance |x − a|

Règle le centre $a$ et le rayon $r$ , puis fais glisser le point $x$ sur la droite. L’arc orange mesure la distance $|x - a|$ . Le point devient vert quand cette distance est inférieure ou égale à $r$ : il est alors dans l’intervalle bleu. Coche « inégalité stricte » pour voir les crochets s’ouvrir.

Observe : les points qui sont à une distance au plus $r$ de $a$ forment exactement l’intervalle centré en $a$ , de $a - r$ à $a + r$ .

La propriété clé

Distance et intervalle

Soit $a$ un réel et $r$ un réel strictement positif.

|x - a| \leqslant r \iff a - r \leqslant x \leqslant a + r \iff x \in [a - r\,;\,a + r]

On dit que $[a - r\,;\,a + r]$ est l’intervalle de centre $a$ et de rayon $r$ . Avec une inégalité stricte, on obtient l’intervalle ouvert $]a - r\,;\,a + r[$ .

Dans l’autre sens, l’intervalle $[m\,;\,M]$ a pour centre le milieu $\dfrac{m + M}{2}$ et pour rayon la demi-longueur $\dfrac{M - m}{2}$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Démontrons que $|x - a| \leqslant r \iff a - r \leqslant x \leqslant a + r$ , en séparant deux cas.

Si $x \geqslant a$ : $|x - a| = x - a$ , et $x - a \leqslant r$ équivaut à $x \leqslant a + r$ . Comme $x \geqslant a > a - r$ , l’inégalité $a - r \leqslant x$ est toujours vraie.
Si $x < a$ : $|x - a| = a - x$ , et $a - x \leqslant r$ équivaut à $x \geqslant a - r$ . Comme $x < a < a + r$ , l’inégalité $x \leqslant a + r$ est toujours vraie.

Dans chaque cas, $|x - a| \leqslant r$ équivaut donc bien à l’encadrement $a - r \leqslant x \leqslant a + r$ .

Exemple 1 : la pièce usinée

Une pièce doit mesurer 50 mm à 0,1 mm près. On note $L$ sa longueur réelle.

« À 0,1 mm près » signifie : l’écart entre $L$ et 50 est au plus 0,1, donc $|L - 50| \leqslant 0{,}1$ .
D’après la propriété : $50 - 0{,}1 \leqslant L \leqslant 50 + 0{,}1$ .
Conclusion : $L \in [49{,}9\,;\,50{,}1]$ . Une pièce de 50,15 mm est refusée, car $|50{,}15 - 50| = 0{,}15 > 0{,}1$ .

Exemple 2 : du thermostat à l’inégalité

Un aquarium tropical doit rester entre 24 °C et 28 °C. On cherche une écriture avec une valeur absolue.

Centre : $\dfrac{24 + 28}{2} = 26$ . Rayon : $\dfrac{28 - 24}{2} = 2$ .
Donc $T \in [24\,;\,28] \iff |T - 26| \leqslant 2$ : la température doit rester à 2 °C au plus de 26 °C.

Exemple 3 : résoudre |x + 3| < 1

On écrit $x + 3 = x - (-3)$ : c’est la distance entre $x$ et $-3$ .
Les réels à une distance strictement inférieure à 1 de $-3$ : $-4 < x < -2$ .
Solution : $x \in\, ]-4\,;\,-2[$ .

Les pièges classiques

$|x + 3|$ est la distance de $x$ à −3, pas à 3 : pense à écrire $x + 3 = x - (-3)$ .
$|-x|$ ne vaut pas $-x$ en général : $|-x| = |x|$ .
Le crochet du côté de $\pm\infty$ est toujours ouvert : $[2\,;\,+\infty]$ est une écriture fausse.
$|a + b|$ n’est pas toujours égal à $|a| + |b|$ : $|3 + (-5)| = 2$ alors que $|3| + |-5| = 8$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Industrie et contrôle qualité : une vis de 8 mm « à ±0,05 mm » doit vérifier $|d - 8| \leqslant 0{,}05$ . Les machines de contrôle trient automatiquement les pièces avec ce test.
Médecine : une glycémie à jeun est jugée normale entre 0,70 et 1,10 g/L, soit $|g - 0{,}9| \leqslant 0{,}2$ . Les analyses de laboratoire affichent ces intervalles de référence à côté de tes résultats.
Sondages : un sondage donne 52 % d’intentions de vote « à 3 points près ». La vraie valeur est probablement dans $[49\,;\,55]$ , donc personne ne peut affirmer que le candidat a la majorité.
GPS : ton téléphone indique ta position « précise à 5 m ». Tu es quelque part dans un disque de rayon 5 m : c’est la version en deux dimensions de $|x - a| \leqslant r$ .
Informatique : pour comparer deux nombres à virgule, un programme ne teste pas a == b mais $|a - b| < 0{,}000001$ , car les calculs en machine ne sont jamais parfaitement exacts.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quel intervalle correspond à −2 ≤ x < 4 ?
Combien vaut |3 − 10| ?
|x − 5| ≤ 2 équivaut à :
Une boîte de céréales doit peser 500 g à 15 g près. Quelle est la masse maximale acceptée (en g) ?
Un frigo doit rester entre 2 °C et 6 °C. Cette condition s’écrit |T − a| ≤ r. Combien vaut a ?
Que vaut [1 ; 6] ∩ [4 ; 9] ?