5e 🔢 Nombres et calcul Étape 15 / 29 du parcours

Les nombres relatifs

Les nombres relatifs expliqués avec un thermomètre : nombres positifs et négatifs, comparaison, opposés et addition pas à pas.

Les nombres relatifs descendent sous zéro : ils ont un signe + ou −.

Ce matin, il fait 3 degrés sous zéro : −3 °C. L’après-midi, la température monte de 5 degrés : il fait 2 °C.

Altitudes sous la mer, étages d’un parking souterrain, compte en banque : les relatifs sont partout.

Positifs et négatifs

Définition

Un nombre relatif est formé d’un signe (+ ou −) et d’un nombre appelé distance à zéro.

Un nombre positif est plus grand que 0 : $+3$ , $+12{,}5$ … On peut omettre le signe + : $+3 = 3$ .
Un nombre négatif est plus petit que 0 : $-3$ , $-0{,}5$ … On ne peut jamais omettre le signe −.
Le nombre $0$ est à la fois positif et négatif.

Par exemple, dans $-7$ , le signe est « − » et la distance à zéro est $7$ . Dans $+4{,}2$ , le signe est « + » et la distance à zéro est $4{,}2$ .

Un peu d’histoire

Les nombres négatifs ont mis très longtemps à être acceptés. En Chine, il y a environ 2 000 ans, on calculait déjà avec des baguettes rouges pour les nombres positifs et noires pour les négatifs. En 628, le savant indien Brahmagupta donne des règles de calcul en parlant de « fortunes » et de « dettes » : par exemple, le produit de deux dettes est une fortune. En Europe, en revanche, on s’en méfiait encore au XVI^e siècle : l’Allemand Michael Stifel les appelait des « nombres absurdes ». Ils n’ont été pleinement acceptés qu’au XIX^e siècle.

La droite graduée

On range les nombres relatifs sur une droite graduée : les positifs d’un côté de zéro, les négatifs de l’autre. Un thermomètre, c’est exactement une droite graduée verticale !

Choisis une variation avec le curseur (positive si la température monte, négative si elle baisse), puis clique sur ▶ pour voir le liquide bouger et l’addition s’écrire.

Nombres opposés

Deux nombres sont opposés s’ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires. Par exemple, $+5$ et $-5$ sont opposés. Sur la droite graduée, ils sont symétriques par rapport à zéro.

Comparer deux nombres relatifs

Sur un thermomètre, plus on est haut, plus il fait chaud. Sur une droite graduée horizontale, le plus grand nombre est le plus à droite.

Comparer des relatifs

Un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif : $-8 < +1$ .
Entre deux positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : $+9 > +4$ .
Entre deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : $-2 > -7$ .

Attention

Le piège classique : croire que $-7$ est plus grand que $-2$ « parce que 7 est plus grand que 2 ». Pense à la température : $-7$ °C, c’est plus froid que $-2$ °C. Donc $-7 < -2$ .

Ranger dans l’ordre croissant

Range les nombres $+3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-1{,}5$ ; $+0{,}5$ du plus petit au plus grand.

Les négatifs d’abord : $-5$ est plus loin de zéro que $-1{,}5$ , donc $-5 < -1{,}5$ .
Puis zéro.
Puis les positifs : $+0{,}5 < +3$ .

Résultat : $-5 < -1{,}5 < 0 < +0{,}5 < +3$ .

Additionner deux nombres relatifs

Ajouter un nombre positif, c’est monter sur le thermomètre. Ajouter un nombre négatif, c’est descendre. Avec le widget, tu as dû le voir : $(+3) + (-5) = -2$ .

Règles de l’addition

Mêmes signes : on garde le signe commun et on additionne les distances à zéro. $(-4) + (-3) = -7$ et $(+4) + (+3) = +7$ .
Signes contraires : on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro, et on soustrait les distances à zéro. $(+3) + (-5) = -2$ car $5 - 3 = 2$ et c’est $-5$ qui « gagne ».
La somme de deux nombres opposés est nulle : $(+6) + (-6) = 0$ .

Le parking souterrain

Tu es au niveau $-2$ d’un parking. Tu montes de 5 niveaux. À quel étage arrives-tu ?

On calcule $(-2) + (+5)$ . Les signes sont contraires. Distances à zéro : 2 et 5. On fait $5 - 2 = 3$ , et c’est $+5$ qui a la plus grande distance à zéro.

$(-2) + (+5) = +3$ : tu es au 3e étage.

Soustraire un nombre relatif

Une soustraction se transforme toujours en addition.

Soustraire, c’est ajouter l’opposé

a - b = a + (\text{opposé de } b)

Exemples : $(+2) - (+6) = (+2) + (-6) = -4$ et $(-1) - (-4) = (-1) + (+4) = +3$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Soustraire $b$ à $a$ , c’est trouver le nombre qu’il faut ajouter à $b$ pour obtenir $a$ : par exemple $7 - 3 = 4$ car $3 + 4 = 7$ . Vérifions que $a + (\text{opposé de } b)$ fait bien l’affaire :

b + \big(a + (\text{opposé de } b)\big) = a + \big(b + (\text{opposé de } b)\big) = a + 0 = a.

On a seulement changé l’ordre des termes, puis utilisé que deux nombres opposés ont une somme nulle. Donc $a - b = a + (\text{opposé de } b)$ .

Pour vérifier

Fais un petit dessin de droite graduée, ou imagine le thermomètre : part du premier nombre, puis monte ou descends. Si ton résultat ne correspond pas au dessin, recommence le calcul !

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En météo : à Strasbourg, il fait −6 °C le matin et +4 °C l’après-midi. L’écart de température est de 4 − (−6) = 10 °C.
En géographie : la mer Morte est à environ −430 m, sous le niveau de la mer, alors que le mont Blanc culmine à +4 806 m. Le dénivelé entre les deux est de 4 806 − (−430) = 5 236 m.
À la banque : avec 50 € sur ton compte, si tu dépenses 80 €, ton solde devient 50 + (−80) = −30 € : tu es « à découvert ».
En histoire : Jules César est mort en −44 (44 av. J.-C.). Entre −44 et l’an 2026, il s’est écoulé 2026 − (−44) = 2 070 ans (en oubliant l’absence d’année zéro).
Au football : la « différence de buts » d’une équipe qui a marqué 12 buts et en a encaissé 19 est de 12 − 19 = −7.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quel est le plus grand nombre ?
Quel est l’opposé de −7 ?
Il fait −4 °C, puis la température monte de 6 °C. Quelle température fait-il ?
Un plongeur est à −3 m sous la surface. Il descend encore de 8 m. À quelle altitude (en m) se trouve-t-il ?
Calcule (+5) − (+9).
Quel classement est dans l’ordre croissant ?