6e ➗ Arithmétique Étape 2 / 7 du parcours

Multiples et diviseurs

Multiples et diviseurs d’un nombre entier : les reconnaître avec la division euclidienne, trouver tous les diviseurs et les utiliser dans des problèmes.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : La division euclidienne , Les tables de multiplication

Un diviseur de 24 partage 24 en groupes égaux, sans reste.

Le professeur répartit ses 24 élèves en groupes de 4 : 6 groupes, personne ne reste seul. En groupes de 5 ? Il resterait 4 élèves : raté !

On dit que 4 est un diviseur de 24, et que 24 est un multiple de 4.

Multiple, diviseur : deux façons de dire la même chose

On a $24 = 4 \times 6$ . On peut lire cette égalité de plusieurs façons.

Définition

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers, avec $b$ non nul. Si la division euclidienne de $a$ par $b$ a un reste nul, c’est-à-dire s’il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$ , on dit que :

$a$ est un multiple de $b$ ;
$b$ est un diviseur de $a$ ;
$a$ est divisible par $b$ ;
$b$ divise $a$ .

Un peu d’histoire

Les Grecs de l’Antiquité adoraient jouer avec les diviseurs. Ils appelaient nombre parfait un nombre égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même : $6 = 1 + 2 + 3$ et $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$ sont parfaits. Vers 300 av. J.-C., Euclide explique dans ses Éléments comment en fabriquer d’autres : les suivants sont 496 puis 8 128. Plus de 2 000 ans plus tard, personne ne sait toujours s’il existe un nombre parfait impair : c’est l’une des plus vieilles énigmes des mathématiques !

Ainsi, 24 est un multiple de 4, et 4 est un diviseur de 24. Mais 5 n’est pas un diviseur de 24, car $24 = 5 \times 4 + 4$ : le reste n’est pas nul.

Voir les multiples et les diviseurs

Les multiples de $d$ , ce sont les nombres sur lesquels on atterrit en faisant des bonds de $d$ depuis 0 : $0, d, 2d, 3d, \dots$ Choisis un nombre $N$ et une longueur de bond $d$ : si les bonds tombent pile sur $N$ , alors $d$ divise $N$ , et les carreaux forment un rectangle complet. Clique sur les diviseurs proposés pour voir tous les rectangles possibles.

Chaque diviseur va avec un « partenaire » : $24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$ . Les diviseurs vont donc par paires.

À retenir

Un nombre a une infinité de multiples : $0, 7, 14, 21, 28, \dots$ pour 7.
Un nombre non nul a un nombre fini de diviseurs, tous inférieurs ou égaux à lui-même.
1 divise tous les nombres, et tout nombre se divise lui-même.
0 est un multiple de tous les nombres ( $0 = b \times 0$ ).

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Si deux nombres sont des multiples de 7, leur somme est aussi un multiple de 7. Par exemple $14 + 35 = 49 = 7 \times 7$ . Est-ce toujours le cas ?

Prenons deux multiples de 7 : on peut les écrire $7 \times k$ et $7 \times m$ , avec $k$ et $m$ entiers. Leur somme vaut

7 \times k + 7 \times m = 7 \times (k + m)

et $k + m$ est un nombre entier : la somme est bien un multiple de 7. Le raisonnement marche avec n’importe quel nombre à la place de 7, et aussi pour la différence.

Trouver tous les diviseurs d’un nombre

Les rangées du verger

Un agriculteur veut planter 36 pommiers en rangées égales. Quelles dispositions sont possibles ?

On cherche tous les diviseurs de 36 en testant les nombres dans l’ordre, et on note les paires :

$36 = 1 \times 36$
$36 = 2 \times 18$
$36 = 3 \times 12$
$36 = 4 \times 9$
5 ne divise pas 36 ( $36 = 5 \times 7 + 1$ )
$36 = 6 \times 6$ : on est arrivé au « milieu », on peut s’arrêter.

Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Par exemple, 4 rangées de 9 pommiers, ou 6 rangées de 6.

Quand s’arrêter ?

On teste les diviseurs dans l’ordre croissant. Dès que le petit diviseur dépasse son partenaire (ou lui est égal), on a tout trouvé : chaque nouveau diviseur serait le partenaire d’un diviseur déjà trouvé.

Reconnaître un multiple

Le paquet de cartes

Peut-on distribuer équitablement un jeu de 52 cartes à 4 joueurs ? Et à 3 joueurs ?

$52 = 4 \times 13$ : oui, 52 est un multiple de 4, chaque joueur reçoit 13 cartes.
$52 = 3 \times 17 + 1$ : non, 3 ne divise pas 52, il resterait une carte.

Attention

Ne confonds pas « multiple » et « diviseur » : 24 est un multiple de 6, alors que 6 est un diviseur de 24. Le multiple est (en général) le plus grand des deux.
« $a$ est divisible par $b$ » ne veut pas dire « on peut calculer $a \div b$ » (on peut toujours !), mais que le résultat est un nombre entier.
N’oublie pas 1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Faire des groupes : une classe de 28 élèves peut être divisée en groupes de 2, 4, 7 ou 14, car ce sont des diviseurs de 28 ; mais pas en groupes de 3 ( $28 = 3 \times 9 + 1$ ).
Ranger et emballer : une usine qui produit 60 yaourts peut les emballer par 4, 6 ou 12 sans en laisser un seul, car 60 est un multiple de ces trois nombres.
Disposer des sièges : pour placer 48 chaises en un rectangle parfait, on peut faire 6 rangées de 8, 4 rangées de 12 ou 3 rangées de 16.
Prévoir des horaires : un bus passe toutes les 15 minutes à partir de 8 h. Il passe aux minutes 0, 15, 30, 45 de chaque heure : ce sont les multiples de 15.
Concevoir un écran : un écran de 1 920 pixels de large peut être découpé en colonnes égales de 10, 12, 16, 20… pixels, car ce sont des diviseurs de 1 920.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Lequel de ces nombres est un multiple de 7 ?
Combien le nombre 18 a-t-il de diviseurs ?
Quelle phrase est vraie ?
On veut ranger 40 photos dans un album, avec le même nombre de photos sur chaque page, entre 6 et 9 par page. Combien de photos par page ?
Un fleuriste a 30 roses. Peut-il faire des bouquets identiques de 4 roses sans qu’il en reste ?
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 50 ?