6e ➗ Arithmétique Étape 1 / 7 du parcours

La division euclidienne

La division euclidienne avec quotient et reste : écrire a = b × q + r avec r < b, la poser, et l’utiliser pour résoudre des problèmes concrets.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : La division , Les tables de multiplication

La division euclidienne donne un quotient et un reste, plus petit que le diviseur.

Au poulailler, on a ramassé 45 œufs, à ranger dans des boîtes de 6. On remplit 7 boîtes, et 3 œufs restent sans boîte.

On écrit $45 = 6 \times 7 + 3$ : le quotient est 7, le reste est 3. Pas besoin de virgule !

Quotient et reste

Dans 45, on peut faire 7 paquets de 6 (car $6 \times 7 = 42$ ), et il reste $45 - 42 = 3$ œufs. On ne peut pas faire un paquet de plus : il faudrait $6 \times 8 = 48$ œufs.

Définition

Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier $a$ (le dividende) par un nombre entier $b$ non nul (le diviseur), c’est trouver deux nombres entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que :

a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad r < b

Pour nos œufs : $45 = 6 \times 7 + 3$ , avec $3 < 6$ . Le quotient est 7, le reste est 3.

Voir la division en jetons

Choisis le nombre d’œufs et la taille des boîtes, puis clique sur « Ranger ». Les boîtes bleues sont pleines ; les œufs orange sont le reste. Essaie de trouver des cas où il ne reste rien.

Tu remarques que le reste est toujours plus petit que le diviseur : s’il restait 6 œufs ou plus, on pourrait remplir une boîte de plus !

Les règles du reste

Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur : $0 \le r < b$ .
Si le reste est nul ( $r = 0$ ), on dit que la division « tombe juste » : $a$ est un multiple de $b$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi le quotient et le reste existent-ils toujours, et sont-ils uniques ? Range les multiples de $b$ : $0$ , $b$ , $2b$ , $3b$ … Ils grandissent sans fin, donc il y a un dernier multiple $b \times q$ qui ne dépasse pas $a$ :

b \times q \leqslant a < b \times (q + 1)

On pose $r = a - b \times q$ . L’inégalité de gauche donne $r \geqslant 0$ ; celle de droite donne $a - bq < b$ , c’est-à-dire $r < b$ . Et il n’y a pas d’autre choix : avec un quotient plus petit, le reste serait au moins égal à $b$ ; avec un quotient plus grand, il serait négatif.

Un peu d’histoire

Cette division porte le nom d’Euclide, le savant grec qui l’utilise vers 300 av. J.-C. dans ses Éléments — même si on savait partager avec un reste bien avant lui ! Euclide y décrit, par des soustractions successives, une méthode pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres : c’est l’algorithme d’Euclide, que les ordinateurs utilisent encore aujourd’hui avec des divisions euclidiennes. Une application surprenante : une année normale compte $365 = 7 \times 52 + 1$ jours. Ce reste de 1 explique pourquoi ton anniversaire « avance » d’un jour de la semaine chaque année (et de deux jours quand un 29 février passe entre-temps).

Trouver le quotient et le reste

Les places dans le car

Un car de 53 places doit emmener 187 élèves en sortie. Combien de cars faut-il ?

On cherche le plus grand multiple de 53 inférieur ou égal à 187 : $53 \times 3 = 159$ et $53 \times 4 = 212$ (trop grand).
Donc $q = 3$ et $r = 187 - 159 = 28$ .
On écrit : $187 = 53 \times 3 + 28$ , avec $28 < 53$ . ✔
Attention à la question : 3 cars ne suffisent pas, il reste 28 élèves. Il faut 4 cars.

Pour les grands nombres, on pose la division (avec la potence), comme à l’école primaire. La calculatrice donne aussi le résultat : $187 \div 53 \approx 3{,}53$ . La partie entière, 3, est le quotient ; on retrouve le reste en calculant $187 - 53 \times 3 = 28$ .

Les semaines de vacances

Les grandes vacances durent 59 jours. Combien de semaines complètes est-ce ?

$59 = 7 \times 8 + 3$ : cela fait 8 semaines et 3 jours.

Toujours vérifier

Après une division euclidienne, fais deux vérifications : recalcule $b \times q + r$ (tu dois retrouver $a$ ) et contrôle que $r < b$ .

Lire le résultat selon la question

Le même calcul ne donne pas toujours la même réponse : tout dépend de ce qu’on demande.

Situation	Calcul	Réponse
45 œufs, boîtes de 6 : combien de boîtes pleines ?	$45 = 6 \times 7 + 3$	7 (le quotient)
45 œufs : combien de boîtes pour tout ranger ?	idem	8 (quotient + 1)
Combien d’œufs sans boîte ?	idem	3 (le reste)

Attention

Le reste doit être plus petit que le diviseur : $45 = 6 \times 6 + 9$ est une égalité vraie, mais ce n’est pas la division euclidienne, car $9 > 6$ .
Ne confonds pas l’ordre : dans « $a$ divisé par $b$ », c’est $b$ qui est le diviseur.
Le reste n’est pas la partie décimale : $187 \div 53 \approx 3{,}53$ , mais le reste est 28, pas 53 !

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Organiser un transport : pour emmener 187 élèves dans des cars de 53 places, $187 = 53 \times 3 + 28$ , donc il faut réserver 4 cars (et le dernier aura 25 places libres).
Convertir des durées : un film de 137 minutes, c’est $137 = 60 \times 2 + 17$ , donc 2 h 17 min. De même, 1 000 secondes font $1\,000 = 60 \times 16 + 40$ , soit 16 min 40 s.
Retrouver un jour de la semaine : si on est lundi, dans 100 jours on sera… $100 = 7 \times 14 + 2$ : 14 semaines pile plus 2 jours, donc un mercredi.
Faire des équipes : 29 joueurs à répartir en équipes de 5 au basket, $29 = 5 \times 5 + 4$ : 5 équipes complètes et 4 remplaçants.
Programmer un jeu vidéo : pour afficher une carte de 8 cases par ligne, la case n° 50 (en numérotant à partir de 0) est sur la ligne 6 et la colonne 2, car $50 = 8 \times 6 + 2$ . L’ordinateur utilise le reste (l’opération « modulo ») en permanence.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Dans la division euclidienne de 38 par 5, quel est le reste ?
Dans la division euclidienne de 100 par 7, quel est le quotient ?
L’égalité 50 = 6 × 7 + 8 traduit-elle la division euclidienne de 50 par 6 ?
Un ascenseur transporte au maximum 8 personnes. 50 personnes veulent monter. Combien de voyages faut-il au minimum ?
Une émission dure 200 minutes. Combien de minutes faut-il ajouter aux heures complètes ? (200 min = … h … min)
Dans une division euclidienne par 9, quel est le plus grand reste possible ?