6e ➗ Arithmétique Étape 3 / 7 du parcours

Les critères de divisibilité

Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10 : savoir en un coup d’œil si un nombre est divisible, sans poser la division.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Multiples et diviseurs

Un critère de divisibilité répond sans poser la division.

Une boulangerie a vendu 2 754 croissants. Pouvait-on les ranger par boîtes de 9, sans en laisser un seul ?

Pas besoin de poser la division : ${2 + 7 + 5 + 4 = 18}$ , et 18 est dans la table de 9. Donc oui ! Réponse en trois secondes.

Rappel

Un nombre entier $a$ est divisible par $b$ si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul, autrement dit si $a$ est un multiple de $b$ . Les critères permettent de le savoir sans faire la division.

Le détecteur de divisibilité

Tape un nombre (ou clique sur « Au hasard »). Les six critères sont vérifiés en direct. Clique sur une carte : les chiffres qu’elle utilise s’allument, et la division de contrôle s’affiche en bas.

Remarque : tous les nombres divisibles par 9 sont divisibles par 3, et tous les nombres divisibles par 10 sont divisibles par 2 et par 5. L’inverse est faux : 12 est divisible par 3, mais pas par 9.

Les critères qui regardent le dernier chiffre

Par 2, par 5, par 10

Un nombre entier est divisible :

par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (le nombre est pair) ;
par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
par 10 si son chiffre des unités est 0.

Pourquoi ? Parce que les dizaines, centaines, milliers… sont tous des multiples de 10, donc de 2 et de 5. Seules les unités peuvent « dépasser ». Par exemple, $1\,238 = 1\,230 + 8$ : 1 230 est divisible par 2, et 8 aussi, donc 1 238 l’est.

Le critère par 4

Par 4

Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

C’est parce que 100 est un multiple de 4 ( $100 = 4 \times 25$ ) : les centaines, milliers… ne comptent pas. Ainsi, 7 316 est divisible par 4, car $16 = 4 \times 4$ ; mais 7 318 ne l’est pas, car 18 n’est pas dans la table de 4.

Les critères qui regardent tous les chiffres

Par 3, par 9

Un nombre entier est divisible :

par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Pour 2 754 : $2 + 7 + 5 + 4 = 18$ , et $18 = 9 \times 2$ . Donc 2 754 est divisible par 9 (et aussi par 3). En effet, $2\,754 = 9 \times 306$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Écris 2 754 avec ses chiffres : $2\,754 = 2 \times 1\,000 + 7 \times 100 + 5 \times 10 + 4$ . Or $1\,000 = 999 + 1$ , $100 = 99 + 1$ et $10 = 9 + 1$ . Donc

2\,754 = \underbrace{2 \times 999 + 7 \times 99 + 5 \times 9}_{\text{multiple de 9}} + \underbrace{(2 + 7 + 5 + 4)}_{\text{somme des chiffres}}

La première partie est toujours un multiple de 9 (donc aussi de 3). Le nombre est donc divisible par 9 (ou par 3) exactement quand la somme de ses chiffres l’est. Ça marche pour n’importe quel nombre, car 9, 99, 999, 9 999… sont tous des multiples de 9.

Un peu d’histoire

Le critère par 9 est à l’origine d’une méthode de vérification très ancienne, la preuve par neuf, utilisée par les calculateurs indiens et arabes, puis transmise à l’Europe : Fibonacci l’explique dans son Liber abaci en 1202. Jusqu’au XXe siècle, les écoliers français l’apprenaient pour contrôler leurs multiplications. Vers 1654, le jeune Blaise Pascal va plus loin : dans un petit traité, il donne une méthode générale pour fabriquer un critère de divisibilité par n’importe quel nombre. Elle repose sur les restes des puissances de 10… exactement l’idée de la démonstration ci-dessus.

Exemples résolus

Les œufs en plateaux

Un producteur a 1 470 œufs. Peut-il les ranger par plateaux de 30, en vérifiant d’abord qu’ils se rangent par 3 et par 10 ?

Par 10 : le chiffre des unités est 0. ✔
Par 3 : $1 + 4 + 7 + 0 = 12$ , et 12 est dans la table de 3. ✔
Comme $30 = 3 \times 10$ , on peut le vérifier : $1\,470 = 30 \times 49$ . Il fera 49 plateaux.

Une année bissextile ?

Les années bissextiles (avec un 29 février) sont, en général, celles divisibles par 4. L’année 2036 en est-elle une ?

Ses deux derniers chiffres forment 36, et $36 = 4 \times 9$ . Donc 2036 est divisible par 4 : oui, ce sera une année bissextile.

Une somme trop grande ?

Si la somme des chiffres est encore grande, recommence ! Pour 987 654 : $9+8+7+6+5+4 = 39$ , puis $3 + 9 = 12$ . 12 est divisible par 3 mais pas par 9 : 987 654 est divisible par 3, pas par 9.

Attention

Le critère de 4 regarde les deux derniers chiffres, pas le dernier : 34 se termine par 4, mais n’est pas divisible par 4 ( $34 = 4 \times 8 + 2$ ).
Le critère de 3 ne marche pas avec le chiffre des unités : 13 se termine par 3, mais n’est pas divisible par 3.
Ne mélange pas : la somme des chiffres sert pour 3 et 9, le dernier chiffre pour 2, 5 et 10.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Vérifier un partage : 4 amis doivent payer une addition de 116 €. Comme $16 = 4 \times 4$ , le compte tombe juste : 29 € chacun, sans centimes.
Trouver les années bissextiles : 2028 est divisible par 4 (car 28 l’est), donc février 2028 aura 29 jours. Pour les années « en 00 », c’est plus subtil : 2000 l’était, 1900 non.
Détecter une erreur de calcul : la « preuve par 9 » utilise la somme des chiffres. Si $23 \times 15$ donnait 335, on verrait que c’est faux : $23 \times 15$ est divisible par 3 (car 15 l’est), mais $3 + 3 + 5 = 11$ ne l’est pas. (Le bon résultat est 345.)
Préparer une rencontre sportive : 252 participants à un tournoi peuvent-ils former des équipes de 9 ? $2 + 5 + 2 = 9$ : oui, 28 équipes exactement.
Codes de contrôle : le numéro de ta carte bancaire ou le code-barres d’un produit contient un chiffre de contrôle calculé avec des sommes de chiffres et des restes, pour repérer les fautes de frappe.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Lequel de ces nombres est divisible par 3 ?
Le nombre 3 726 est-il divisible par 4 ?
Par combien de nombres parmi 2, 3, 4, 5, 9 et 10 le nombre 360 est-il divisible ?
Quel chiffre faut-il écrire à la place de ? pour que le nombre 5?3 soit divisible par 9 ?
Une école commande 1 845 stylos. Peut-elle les répartir en lots de 5 sans en laisser ?
Un club de 534 adhérents veut former des équipes de 9. Combien d’adhérents resteraient sans équipe ?