5e ➗ Arithmétique Étape 4 / 7 du parcours

Les nombres premiers

Les nombres premiers : définition, liste jusqu’à 100 avec le crible d’Ératosthène, et méthode pour savoir si un nombre est premier.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Multiples et diviseurs , Les critères de divisibilité

Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Tu as 12 carrés de chocolat : tu peux les ranger en rectangle 3 × 4 ou 2 × 6. Avec 13, impossible : une seule ligne de 13 !

13 ne se « casse » pas en produit : il est premier. Ces nombres protègent aujourd’hui tes messages sur Internet.

12 = 3 × 4rectangle !13 : une seule ligne13 est premier

Définition

Définition

Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

  • 7 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7.
  • 15 n’est pas premier : il est divisible par 3 et par 5 (15=3×515 = 3 \times 5).
  • 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur (lui-même).
  • 2 est le seul nombre premier pair : tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2.

Un nombre entier supérieur à 1 qui n’est pas premier peut s’écrire comme un produit de deux nombres plus petits que lui, par exemple 12=3×412 = 3 \times 4.

Un peu d’histoire

Depuis des siècles, on chasse les très grands nombres premiers. Au XVIIe siècle, le moine français Marin Mersenne s’intéresse aux nombres de la forme 2n−12^n - 1, comme 25−1=312^5 - 1 = 31 ou 27−1=1272^7 - 1 = 127 : beaucoup d’entre eux sont premiers. En 1772, Leonhard Euler prouve, sans calculatrice, que 231−1=2 147 483 6472^{31} - 1 = 2\,147\,483\,647 est premier : ce sera le record pendant près d’un siècle. Aujourd’hui, la chasse se fait avec des ordinateurs reliés par Internet, et le record de 2024, 2136 279 841−12^{136\,279\,841} - 1, est encore un « nombre de Mersenne ».

Le crible d’Ératosthène

Il y a plus de 2 200 ans, le savant grec Ératosthène a inventé une méthode pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à un nombre donné. L’idée : barrer tous les multiples, ce qui reste est premier.

Clique sur « Étape suivante » pour suivre le crible pas à pas : on barre 1, puis on entoure 2 et on barre ses multiples, puis 3, puis 5, puis 7… Chaque couleur de trait correspond à un nombre premier.

Le crible d’Ératosthène

Les nombres premiers inférieurs à 100

Il y en a 25 :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Pourquoi s’arrêter après 7 ? Un nombre jusqu’à 100 qui n’est pas premier s’écrit a×ba \times b ; les deux facteurs ne peuvent pas dépasser 10 tous les deux (car 11×11=12111 \times 11 = 121). Il a donc un diviseur premier inférieur à 10 : 2, 3, 5 ou 7. Il a déjà été barré !

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Y a-t-il une infinité de nombres premiers ? Oui ! La preuve d’Euclide, vieille de plus de 2 000 ans, tient en quelques lignes. Imagine qu’il n’y en ait qu’un nombre fini, par exemple seulement 2, 3, 5 et 7. Calcule :

N=2×3×5×7+1=211.N = 2 \times 3 \times 5 \times 7 + 1 = 211.

NN n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 : chaque division laisse un reste de 1. Or tout nombre plus grand que 1 a au moins un diviseur premier (son plus petit diviseur autre que 1). Ce diviseur premier n’est pas dans la liste : la liste était incomplète ! Le même raisonnement marche avec n’importe quelle liste finie : on peut toujours trouver un nombre premier de plus.

Savoir si un nombre est premier

La méthode

Pour savoir si un nombre nn est premier, on teste s’il est divisible par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, … dans l’ordre. On peut s’arrêter dès que le carré du nombre testé dépasse nn.

  • Si l’un d’eux divise nn, alors nn n’est pas premier.
  • Si aucun ne le divise, nn est premier.
Le code du cadenas

Le code de ton cadenas à vélo est 211. Ta sœur prétend que c’est un nombre premier. A-t-elle raison ?

  1. Par 2 : 211 est impair. ✘
  2. Par 3 : 2+1+1=42 + 1 + 1 = 4, pas dans la table de 3. ✘
  3. Par 5 : ne se termine ni par 0 ni par 5. ✘
  4. Par 7 : 211=7×30+1211 = 7 \times 30 + 1. ✘
  5. Par 11 : 211=11×19+2211 = 11 \times 19 + 2. ✘
  6. Par 13 : 211=13×16+3211 = 13 \times 16 + 3. ✘
  7. Le suivant est 17, mais 17×17=289>21117 \times 17 = 289 > 211 : on peut s’arrêter.

Aucun ne divise 211 : oui, 211 est premier.

Un nombre qui trompe

91 a l’air premier : il est impair, 9+1=109 + 1 = 10 n’est pas divisible par 3, il ne finit pas par 5… Mais 91=7×1391 = 7 \times 13. Il n’est pas premier ! Il faut toujours tester jusqu’au bout.

Astuce

Les critères de divisibilité font gagner beaucoup de temps : un coup d’œil au dernier chiffre élimine les multiples de 2 et de 5, la somme des chiffres élimine les multiples de 3.

Attention
  • 1 n’est pas premier (un seul diviseur), et 0 non plus (il a une infinité de diviseurs).
  • « Impair » ne veut pas dire « premier » : 9, 15, 21, 27, 49, 51 sont impairs mais pas premiers.
  • 2 est premier, même s’il est pair.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Sécuriser Internet : quand tu paies en ligne, ta banque utilise un nombre de plus de 600 chiffres, produit de deux nombres premiers gigantesques. Multiplier est facile, mais retrouver les deux facteurs prendrait des milliers d’années aux ordinateurs : c’est ce qui protège tes données (le chiffrement RSA).
  • Comprendre la nature : certaines cigales d’Amérique du Nord sortent de terre tous les 13 ou 17 ans, deux nombres premiers. Ainsi, elles croisent rarement leurs prédateurs qui reviennent tous les 2, 3 ou 4 ans.
  • Fabriquer des engrenages : sur un vélo, des plateaux à 53 dents (un nombre premier) font que chaque dent rencontre toutes les dents du pignon à tour de rôle, ce qui répartit l’usure.
  • Battre des records : le plus grand nombre premier connu, découvert en 2024 par un passionné avec des ordinateurs, compte plus de 41 millions de chiffres !

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Lequel de ces nombres est premier ?

  2. Le nombre 1 est-il premier ?

  3. Combien y a-t-il de nombres premiers entre 20 et 40 ?

  4. Pour 37 élèves, on veut faire des groupes de même taille (au moins 2 élèves par groupe, et au moins 2 groupes). Combien de façons de faire y a-t-il ?

  5. Une salle de 119 places est rangée en rangées toutes identiques de plus d’un siège. Combien de sièges peut-il y avoir par rangée au minimum ?

  6. Pour vérifier que 157 est premier, jusqu’à quel nombre premier faut-il tester les divisions ?

Autres leçons — Collège

6e ➗ Arithmétique La division euclidienne La division euclidienne avec quotient et reste : écrire a = b × q + r avec r < b, la poser, et l’utiliser pour résoudre des problèmes concrets. 6e 🔢 Nombres et calcul Ordres de grandeur et estimation Ordre de grandeur et estimation en 6e : arrondir pour calculer de tête un résultat approché et repérer une erreur de calculatrice. 6e ➗ Arithmétique Multiples et diviseurs Multiples et diviseurs d’un nombre entier : les reconnaître avec la division euclidienne, trouver tous les diviseurs et les utiliser dans des problèmes.