3e ➗ Arithmétique Étape 5 / 7 du parcours

Décomposition en facteurs premiers

Décomposition en facteurs premiers d’un nombre entier : la méthode des divisions successives, l’arbre de facteurs et l’écriture avec des puissances.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les nombres premiers , Les puissances

Tout entier plus grand que 1 est un produit de nombres premiers.

Avec des briques de LEGO, on construit presque tout. Pour les nombres entiers, les briques sont les nombres premiers, et la colle, c’est la multiplication.

Par exemple, ${60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5}$ . C’est l’outil clé pour simplifier des fractions.

Le théorème

Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Cette écriture est unique, à l’ordre des facteurs près.

On regroupe les facteurs identiques avec des puissances : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

Le mot « unique » est important : que tu commences par diviser par 2, par 3 ou par 5, tu retrouveras toujours les mêmes facteurs à la fin.

Un peu d’histoire

Vers 300 av. J.-C., Euclide démontre déjà dans ses Éléments que tout nombre est divisible par un nombre premier, et qu’il existe une infinité de nombres premiers. Mais c’est Carl Friedrich Gauss, en 1801, qui énonce et démontre clairement l’unicité de la décomposition, dans son grand livre Recherches arithmétiques. Aujourd’hui, ce vieux théorème protège tes achats en ligne : le système de chiffrement RSA, inventé en 1977, repose sur le fait qu’il est très facile de multiplier deux grands nombres premiers, mais extrêmement long de retrouver ces deux facteurs à partir de leur produit.

La méthode des divisions successives

On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu’à obtenir un nombre premier.

Décomposer 360

360 est pair : $360 = 2 \times 180$
180 est pair : $180 = 2 \times 90$
90 est pair : $90 = 2 \times 45$
45 est impair, mais $4 + 5 = 9$ : $45 = 3 \times 15$
$15 = 3 \times 5$ , et 5 est premier : on s’arrête.

Donc $360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi la décomposition existe-t-elle toujours ? Prends un entier $n \geqslant 2$ et regarde son plus petit diviseur $p$ supérieur à 1. Ce $p$ est forcément premier : s’il avait un diviseur $d$ avec $1 < d < p$ , alors $d$ diviserait aussi $n$ , et $p$ ne serait pas le plus petit.

On écrit $n = p \times q$ avec $q < n$ , puis on recommence avec $q$ . Les quotients diminuent à chaque étape, donc on finit forcément par arriver à 1 : il ne reste que des facteurs premiers. (L’unicité est plus difficile à prouver : on la démontre au lycée, en option maths expertes.)

L’arbre de facteurs

On peut représenter ces divisions par un arbre : chaque nombre se sépare en deux branches, un facteur premier (feuille verte) et le quotient, qu’on continue à couper. Clique sur « Animer » pour voir l’arbre de 360 pousser, ou avance avec « Couper une fois » : à chaque étape, le message t’explique quel critère de divisibilité on utilise. Essaie ensuite tes propres nombres !

Écrire proprement

On présente souvent les divisions en colonne : à gauche les quotients successifs, à droite les diviseurs premiers. On lit la décomposition dans la colonne de droite.

Nombre	Divisé par
360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

Exemples résolus

Un nombre avec un « gros » facteur

Décomposons 1 001 :

Pas divisible par 2 (impair), ni par 3 ( $1 + 0 + 0 + 1 = 2$ ), ni par 5.
Par 7 : $1\,001 = 7 \times 143$ .
143 : pas divisible par 7 ( $143 = 7 \times 20 + 3$ ), mais $143 = 11 \times 13$ .

Donc $1\,001 = 7 \times 11 \times 13$ .

Les carrelages de la cuisine

Une cuisine compte 196 carreaux identiques posés en carré. Combien y a-t-il de carreaux par côté ?

$196 = 2 \times 98 = 2 \times 2 \times 49 = 2^2 \times 7^2$ . On peut regrouper : $196 = (2 \times 7) \times (2 \times 7) = 14 \times 14$ .

Il y a 14 carreaux par côté. La décomposition montre qu’un nombre est un carré parfait quand tous ses exposants sont pairs.

Trouver tous les diviseurs grâce à la décomposition

Les diviseurs d’un nombre sont les produits formés avec une partie de ses briques. Par exemple, $12 = 2^2 \times 3$ : ses diviseurs sont $1, 2, 2^2 = 4, 3, 2 \times 3 = 6, 2^2 \times 3 = 12$ . À l’inverse, un nombre premier qui n’apparaît pas dans la décomposition ne peut pas être un diviseur : 7 n’apparaît pas dans celle de 360, donc 7 ne divise pas 360.

Attention

Les facteurs doivent tous être premiers : $360 = 4 \times 9 \times 10$ est vrai, mais ce n’est pas une décomposition en facteurs premiers (4, 9 et 10 ne sont pas premiers).
N’oublie pas de continuer jusqu’au bout : le dernier quotient doit être premier.
1 n’apparaît jamais dans la décomposition (ce n’est pas un nombre premier).

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Simplifier des fractions : pour simplifier $\dfrac{84}{126}$ , on décompose : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ . On barre les briques communes $2 \times 3 \times 7 = 42$ et on obtient $\dfrac{2}{3}$ .
Organiser une cérémonie : pour aligner 360 musiciens d’une fanfare en rectangle, la décomposition $2^3 \times 3^2 \times 5$ donne en un clin d’œil les 24 possibilités (12 × 30, 18 × 20…).
Choisir des rapports de vitesse : en mécanique, on choisit des engrenages dont les nombres de dents n’ont pas de facteur premier commun (par exemple 28 = 2² × 7 et 45 = 3² × 5) pour que l’usure soit répartie sur toutes les dents.
Protéger des données : la sécurité des cartes bancaires repose sur le fait qu’on sait multiplier deux grands nombres premiers en un instant, mais que décomposer le résultat (plus de 600 chiffres) prendrait des milliers d’années.
Accorder des instruments : les notes de la gamme sont liées par des rapports de fréquences comme $\dfrac{3}{2}$ ou $\dfrac{4}{3}$ , construits avec les petits nombres premiers 2, 3 et 5.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 60 ?
Dans la décomposition de 72 = 2^a × 3^b, que vaut a ?
Quel est le plus grand facteur premier de 231 ?
Quel nombre a pour décomposition 2³ × 5² ?
Un jardin carré est pavé de 324 dalles identiques. Combien y a-t-il de dalles sur un côté ?
Une prof a 210 bonbons et veut faire des sachets identiques. Le nombre de sachets peut-il être 4 ?