4e 🔢 Nombres et calcul Étape 20 / 29 du parcours

Les puissances

Les puissances expliquées avec des bactéries qui doublent : définition, exposants, puissances de 10, écriture scientifique et règles de calcul.

Une puissance, c’est une multiplication répétée du même nombre.

Une bactérie se divise en deux toutes les 20 minutes : 2, puis 4, 8, 16, 32…

Après 10 divisions, il y en a $2^{10} = 1\,024$ : plus de mille ! Pour écrire ces multiplications répétées sans s’épuiser, on utilise les puissances.

Une multiplication répétée

Définition

Pour un nombre $a$ et un nombre entier $n \geq 1$ , la puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}

On lit « $a$ puissance $n$ » ou « $a$ exposant $n$ ». Le nombre $n$ s’appelle l’exposant.

Par exemple : $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ et $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ .

Cas particuliers

$a^2$ se lit « $a$ au carré » et $a^3$ « $a$ au cube » ;
$a^1 = a$ ;
$a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$ ) : c’est une convention.

Voir la croissance

Clique sur ▶ : à chaque étape, le nombre de carrés est multiplié par la base. Les carrés bleus sont ceux de l’étape d’avant, les orange sont les nouveaux. Avec la base 2, la population double à chaque fois ; essaie la base 3 pour voir à quelle vitesse ça grandit !

Attention

Ne confonds pas $2^5$ et $2 \times 5$ ! $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ , alors que $2 \times 5 = 10$ . De même, $5^2 = 5 \times 5 = 25$ , et pas $10$ .

Un peu d’histoire

Une légende venue d’Inde raconte qu’un roi voulut récompenser l’inventeur du jeu d’échecs. Le sage demanda simplement du riz : 1 grain sur la première case, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case. Le roi rit de cette demande si modeste… avant de comprendre. Sur la 64^e case, il faudrait $2^{63}$ grains, et au total $2^{64} - 1$ , soit environ $1{,}8 \times 10^{19}$ grains : des siècles de récoltes de riz du monde entier ! La notation moderne des exposants, elle, a été popularisée par René Descartes en 1637.

Puissances d’un nombre négatif

Le signe du résultat dépend de l’exposant :

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ : un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif ;
$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ : un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat négatif.

Attention aux parenthèses

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ , mais $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ . Sans parenthèses, la puissance ne s’applique qu’au 3.

Les puissances de 10

Les puissances de 10 sont très pratiques : l’exposant indique le nombre de zéros.

Puissances de 10

Pour un entier $n \geq 1$ :

10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n \text{ zéros}} \qquad \text{et} \qquad 10^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0{,}\underbrace{0\dots0}_{n-1 \text{ zéros}}1

Par exemple : $10^3 = 1\,000$ (mille), $10^6 = 1\,000\,000$ (un million), $10^{-2} = 0{,}01$ (un centième).

Déplace le curseur pour parcourir l’échelle des longueurs, de la bactérie jusqu’à des distances dans l’espace. À chaque cran, on multiplie par 10 !

L’écriture scientifique

En sciences, on manipule des nombres très grands ou très petits. Pour les écrire de façon compacte, on utilise l’écriture scientifique.

Écriture scientifique

L’écriture scientifique d’un nombre positif est de la forme $a \times 10^n$ , où $a$ a un seul chiffre non nul avant la virgule ( $1 \leq a < 10$ ) et $n$ est un entier relatif.

Écrire en notation scientifique

La distance Terre–Soleil vaut environ $150\,000\,000$ km. On déplace la virgule de 8 rangs : $1{,}5 \times 10^8$ km.
La masse d’un grain de sable est d’environ $0{,}000\,6$ g. On déplace la virgule de 4 rangs vers la droite : $6 \times 10^{-4}$ g.

Calculer avec des puissances

Règles de calcul (même base)

Pour un nombre $a$ non nul et des entiers $m$ et $n$ :

a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{m \times n}

Pourquoi ça marche ?

$2^3 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7$ . On a bien $3 + 4 = 7$ facteurs.

Avec les puissances de 10 : $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5 + (-2)} = 10^3 = 1\,000$ .

Ne pas tout mélanger

Ces règles ne marchent qu’avec la même base. Et il n’y a pas de règle pour l’addition : $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$ , ce n’est pas $2^7 = 128$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi $a^0 = 1$ ? C’est une convention… mais pas choisie au hasard : c’est la seule valeur qui fait marcher les règles de calcul. D’un côté, $\dfrac{a^3}{a^3} = 1$ (un nombre non nul divisé par lui-même). De l’autre, la règle du quotient donne $\dfrac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$ . Il faut donc poser $a^0 = 1$ .

De même, $\dfrac{a^2}{a^5} = \dfrac{a \times a}{a \times a \times a \times a \times a} = \dfrac{1}{a^3}$ , alors que la règle donne $a^{2-5} = a^{-3}$ . C’est pour cela que $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ , comme $10^{-2} = \dfrac{1}{100}$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En informatique : la mémoire se compte en puissances de 2. Un octet, c’est 8 bits, et il peut prendre $2^8 = 256$ valeurs différentes : c’est pour ça qu’une couleur d’écran va de 0 à 255.
En astronomie : la lumière voyage à environ $3 \times 10^5$ km par seconde. Elle met environ 500 secondes (un peu plus de 8 minutes) pour venir du Soleil, à $1{,}5 \times 10^8$ km.
En médecine : un globule rouge mesure environ $7 \times 10^{-6}$ m, et ton corps en contient environ $2{,}5 \times 10^{13}$ ! Sans puissances de 10, ces nombres seraient illisibles.
Sur les réseaux sociaux : si une vidéo est partagée par 3 personnes, qui la partagent chacune à 3 autres, et ainsi de suite, au bout de 10 étapes elle atteint $3^{10} = 59\,049$ personnes : c’est ça, devenir « viral ».
Pour les mots de passe : un code de 4 chiffres offre $10^4 = 10\,000$ combinaisons ; un code de 6 chiffres en offre $10^6$ , soit un million : 100 fois plus dur à deviner.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Une bactérie se divise en deux toutes les 20 minutes. En partant d’une seule bactérie, combien y en a-t-il après 4 divisions (80 minutes) ?
Combien vaut 3² ?
Combien vaut 7⁰ ?
Quel est le signe de (−5)³ ?
Comment s’écrit 10⁻³ en écriture décimale ?
Dans une boîte de culture, il y a 10⁴ bactéries. En une journée, leur nombre est multiplié par 10³. Il y en a alors 10^?. Quel est l’exposant ?