4e 🔢 Nombres et calcul Étape 21 / 29 du parcours

Les racines carrées

La racine carrée d’un nombre positif : le côté d’un carré d’aire donnée, les carrés parfaits, l’encadrement entre deux entiers et la calculatrice.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les puissances , Périmètre et aire

La racine carrée d’un nombre, c’est le côté du carré qui a cette aire.

Un potager carré de 49 m² ? Chaque côté mesure 7 m, car $7 \times 7 = 49$ .

Pour 30 m², aucun nombre entier ne marche : le côté vaut $\sqrt{30} \approx 5{,}48$ m.

Définition

Soit $a$ un nombre positif. La racine carrée de $a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$ . On la note $\sqrt{a}$ .

\sqrt{a} \ge 0 \quad \text{et} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a

$\sqrt{49} = 7$ car $7^2 = 49$ et $7 \ge 0$ .
$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ car $0{,}5^2 = 0{,}25$ .
$\sqrt{0} = 0$ et $\sqrt{1} = 1$ .

En géométrie : $\sqrt{a}$ est la longueur du côté d’un carré d’aire $a$ .

Un peu d’histoire

Les racines carrées sont très anciennes. Sur une petite tablette d’argile de Babylone, vieille de plus de 3 500 ans et conservée aujourd’hui à l’université Yale (États-Unis), quelqu’un, sans doute un élève, a dessiné un carré et ses diagonales. Il y a noté, en base 60, une valeur de $\sqrt{2}$ qui correspond à $1{,}414\,213$ : juste jusqu’à la 5^e décimale ! Plus tard, en Grèce, les disciples de Pythagore découvrirent avec stupeur que $\sqrt{2}$ ne peut pas s’écrire comme une fraction. Selon une légende, Hippase de Métaponte, qui aurait révélé ce secret, aurait péri en mer…

Le carré d’aire A

Fais varier l’aire $A$ du carré orange. Son côté mesure $\sqrt{A}$ . Les carrés en pointillés sont les carrés « entiers » juste plus petit (bleu) et juste plus grand (violet) : ils encadrent $\sqrt{A}$ entre deux nombres entiers. Quand le carré devient vert, l’aire est un carré parfait.

Les carrés parfaits

Les nombres $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ sont les carrés parfaits : leur racine carrée est un nombre entier. Il est très utile de les connaître par cœur.

$a$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
$\sqrt{a}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Encadrer une racine carrée

Encadrement

Si $n^2 \le a < (n+1)^2$ , alors $n \le \sqrt{a} < n + 1$ .

Le potager de 30 m²

On cherche les carrés parfaits qui entourent 30 : $25 < 30 < 36$ , c’est-à-dire $5^2 < 30 < 6^2$ .

Donc $5 < \sqrt{30} < 6$ : le côté du potager mesure entre 5 m et 6 m.

À la calculatrice (touche $\sqrt{\phantom{x}}$ ) : $\sqrt{30} \approx 5{,}48$ m. On vérifie : $5{,}48^2 \approx 30{,}03$ . ✔

La plupart des racines carrées (comme $\sqrt{2}$ ou $\sqrt{30}$ ) ont une infinité de chiffres après la virgule, sans répétition : on en donne une valeur approchée.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi $\sqrt{2}$ n’est pas une fraction ? Raisonnons par l’absurde. Suppose que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ , avec une fraction irréductible (déjà simplifiée au maximum). En élevant au carré : $2 = \dfrac{p^2}{q^2}$ , donc $p^2 = 2q^2$ .

$p^2$ est pair, donc $p$ est pair (le carré d’un nombre impair est impair). On écrit $p = 2k$ .
Alors $4k^2 = 2q^2$ , soit $q^2 = 2k^2$ : $q^2$ est pair, donc $q$ aussi.

Mais alors $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, et la fraction se simplifie par 2 : elle n’était pas irréductible ! C’est impossible, donc $\sqrt{2}$ n’est pas une fraction. Ses décimales ne s’arrêtent jamais et ne se répètent jamais.

Avec le théorème de Pythagore

Les racines carrées apparaissent dès qu’on cherche une longueur à partir d’un carré.

L’échelle contre le mur

Une échelle est posée à 1,5 m du pied d’un mur et atteint une fenêtre à 4 m de haut. Quelle est la longueur de l’échelle ?

Le mur est vertical : le triangle est rectangle. D’après le théorème de Pythagore :

$L^2 = 1{,}5^2 + 4^2 = 2{,}25 + 16 = 18{,}25$ .

$L = \sqrt{18{,}25} \approx 4{,}27$ m. Il faut une échelle d’au moins 4,3 m.

Contrôler un résultat

Pour vérifier qu’une racine carrée est juste, élève-la au carré : tu dois retrouver le nombre de départ (à peu près, si c’est une valeur approchée).

Attention

$\sqrt{a}$ n’est pas $a \div 2$ : $\sqrt{16} = 4$ , mais $16 \div 2 = 8$ .
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas (au collège) : aucun carré n’est négatif.
$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ . En général, $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ !
Pour un nombre entre 0 et 1, la racine carrée est plus grande que le nombre : $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Aménager un terrain : pour une pelouse carrée de 200 m², le côté mesure $\sqrt{200} \approx 14{,}1$ m. Il faudra environ $4 \times 14{,}1 \approx 57$ m de bordure.
Mesurer un écran : la diagonale d’une tablette de 20 cm sur 15 cm vaut $\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{625} = 25$ cm, soit environ 10 pouces, la taille annoncée par le vendeur.
Sécurité routière : les experts estiment la vitesse d’une voiture (en km/h) à partir de la longueur $d$ de ses traces de freinage (en m) par une formule du type $v \approx 15\sqrt{d}$ sur route sèche. Pour 36 m de traces : $v \approx 15 \times 6 = 90$ km/h.
Physique : un objet lâché d’une hauteur $h$ (en m) met environ $\sqrt{h \div 4{,}9}$ secondes à tomber. Depuis un plongeoir de 10 m : $\sqrt{10 \div 4{,}9} \approx 1{,}4$ s.
Photographie : les réglages d’ouverture d’un appareil photo (f/1,4 ; f/2 ; f/2,8 ; f/4…) sont multipliés à chaque cran par $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , pour diviser la lumière par 2.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut √81 ?
Entre quels entiers consécutifs se trouve √50 ?
Que vaut (√13)² ?
Un carré a une aire de 144 cm². Quel est son périmètre, en cm ?
Une salle carrée a une surface de 40 m². Donne la longueur de son côté arrondie au dixième (en m).
Quelle égalité est vraie ?