4e 🔢 Nombres et calcul Étape 22 / 29 du parcours

L’écriture scientifique

L’écriture scientifique a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 : écrire les très grands et très petits nombres, les comparer et calculer avec.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les puissances , Les nombres décimaux

On écrit un nombre a × 10n, avec un seul chiffre non nul avant la virgule.

La Terre est à environ 150 000 000 km du Soleil ; une bactérie mesure environ 0,000 002 m. Tous ces zéros, on se trompe vite en les comptant !

Les scientifiques écrivent plus court : 1,5×1081{,}5 \times 10^8 km et 2×10−62 \times 10^{-6} m. C’est l’écriture scientifique.

SoleilTerre150 000 000 km1,5 × 10⁸ kmbactérie : 0,000 002 m2 × 10⁻⁶ m

Rappel : multiplier par une puissance de 10

  • Multiplier par 10n10^n (avec nn positif), c’est décaler la virgule de nn rangs vers la droite : 3,7×103=3 7003{,}7 \times 10^3 = 3\,700.
  • Multiplier par 10−n10^{-n}, c’est décaler la virgule de nn rangs vers la gauche : 3,7×10−3=0,003 73{,}7 \times 10^{-3} = 0{,}003\,7.

Définition

Définition

L’écriture scientifique d’un nombre décimal positif est son écriture sous la forme :

a×10na \times 10^n

où aa est un nombre décimal tel que 1≤a<101 \le a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule), et nn un nombre entier relatif.

  • 150 000 000=1,5×108150\,000\,000 = 1{,}5 \times 10^8 ✔
  • 0,000 002=2×10−60{,}000\,002 = 2 \times 10^{-6} ✔
  • 15×10715 \times 10^7 est bien égal à 150 000 000, mais ce n’est pas l’écriture scientifique, car 15≥1015 \ge 10.
  • 0,15×1090{,}15 \times 10^9 non plus, car 0,15<10{,}15 < 1.
Un peu d’histoire

Il y a plus de 2 200 ans, Archimède s’est lancé un drôle de défi : compter les grains de sable qu’il faudrait pour remplir tout l’Univers ! Les Grecs n’avaient pas de mot pour des nombres aussi grands : le plus grand, la « myriade », valait 10 000. Dans son livre L’Arénaire, Archimède invente donc des « myriades de myriades », puis des ordres de nombres de plus en plus grands, une idée très proche de nos puissances de 10. Son résultat ? Environ 106310^{63} grains, en écriture moderne. Son Univers était beaucoup trop petit, mais l’idée de ranger les nombres par puissances était géniale.

Faire glisser la virgule

Dans le widget, le nombre ne change jamais : quand la virgule recule d’un rang vers la gauche, aa est divisé par 10… et l’exposant augmente de 1 pour compenser. Déplace la virgule jusqu’à obtenir un seul chiffre non nul avant la virgule : le message devient vert. Clique sur « Autre nombre » pour t’entraîner avec des nombres immenses ou minuscules.

Fais glisser la virgule

La méthode
  1. On place la virgule juste après le premier chiffre non nul : on obtient aa.
  2. On compte de combien de rangs la virgule a bougé : c’est nn.
  3. Si la virgule est allée vers la gauche (grand nombre), nn est positif ; si elle est allée vers la droite (nombre plus petit que 1), nn est négatif.

Exemples résolus

La population mondiale

En 2024, il y avait environ 8 100 000 000 humains sur Terre.

  1. Premier chiffre non nul : 8. On écrit a=8,1a = 8{,}1.
  2. Pour passer de 8 100 000 000 à 8,1, la virgule recule de 9 rangs vers la gauche.
  3. Donc 8 100 000 000=8,1×1098\,100\,000\,000 = 8{,}1 \times 10^9.
L’épaisseur d’une feuille

Une feuille de papier mesure 0,000 1 m d’épaisseur.

  1. Premier chiffre non nul : 1. On écrit a=1a = 1.
  2. Pour passer de 0,000 1 à 1, la virgule avance de 4 rangs vers la droite.
  3. Donc 0,000 1=1×10−40{,}000\,1 = 1 \times 10^{-4} m (on écrit souvent simplement 10−410^{-4} m).
Un nombre déjà écrit avec une puissance

Écrire 356×104356 \times 10^{4} en écriture scientifique.

356=3,56×102356 = 3{,}56 \times 10^2, donc 356×104=3,56×102×104=3,56×106356 \times 10^4 = 3{,}56 \times 10^2 \times 10^4 = 3{,}56 \times 10^{6}.

Comparer et calculer

Comparer deux nombres

En écriture scientifique, c’est d’abord l’exposant qui compte : 9,9×105<1,2×1069{,}9 \times 10^5 < 1{,}2 \times 10^6, car 10610^6 est 10 fois plus grand que 10510^5. Si les exposants sont égaux, on compare les nombres aa.

Combien de temps met la lumière du Soleil ?

La lumière parcourt 3×1053 \times 10^5 km par seconde. Le Soleil est à 1,5×1081{,}5 \times 10^8 km. Durée du trajet :

1,5×1083×105=1,53×108−5=0,5×103=500 s\frac{1{,}5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = \frac{1{,}5}{3} \times 10^{8-5} = 0{,}5 \times 10^3 = 500 \text{ s}

Environ 500 secondes, soit 8 min 20 s : la lumière que tu vois est partie du Soleil il y a plus de 8 minutes !

La calculatrice affiche aussi les grands nombres en écriture scientifique : « 1.5E8 » ou « 1,5×10⁸ » veut dire 1,5×1081{,}5 \times 10^8.

Attention
  • aa doit avoir un seul chiffre avant la virgule, et ce chiffre ne doit pas être 0 : ni 12,5×10312{,}5 \times 10^3, ni 0,8×10−20{,}8 \times 10^{-2}.
  • Un exposant négatif ne veut pas dire que le nombre est négatif : 2×10−62 \times 10^{-6} est un petit nombre positif.
  • 10−310^{-3} n’est pas −1 000-1\,000 : c’est 0,0010{,}001.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Astronomie : la galaxie d’Andromède est à environ 2,4×10192{,}4 \times 10^{19} km de nous. Écrit en entier, ce nombre a 20 chiffres !
  • Biologie et médecine : un globule rouge mesure environ 7×10−67 \times 10^{-6} m, et ton corps en contient environ 2,5×10132{,}5 \times 10^{13}. L’écriture scientifique évite les erreurs de zéros dans les ordonnances et les analyses.
  • Informatique : un disque dur de 2 To contient 2×10122 \times 10^{12} octets. Un processeur effectue plusieurs milliards d’opérations, soit plus de 10910^9, chaque seconde.
  • Chimie : un verre de 18 g d’eau contient environ 6×10236 \times 10^{23} molécules, un nombre impossible à écrire en entier sans erreur.
  • Économie : la dette d’un État ou le chiffre d’affaires d’une grande entreprise se compte en milliards d’euros : 3 000 milliards d’euros, c’est 3×10123 \times 10^{12} €.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Quelle est l’écriture scientifique de 45 000 ?

  2. 0,000 37 = 3,7 × 10n. Que vaut n ?

  3. Lequel de ces nombres est écrit en écriture scientifique ?

  4. Le cœur bat environ 3 × 10⁹ fois au cours d’une vie. Combien de milliards de battements cela représente-t-il ?

  5. Un virus mesure 1,2 × 10−7 m et un cheveu 7 × 10−5 m. Lequel est le plus épais ?

  6. Une usine fabrique 4 × 10⁵ bouteilles par jour, pendant 2 × 10³ jours. Le total vaut 8 × 10n bouteilles. Que vaut n ?

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