3e 🔢 Nombres et calcul Étape 23 / 29 du parcours

Les pourcentages d’évolution

Pourcentages d’évolution et coefficient multiplicateur : calculer une hausse, une baisse, des évolutions successives et retrouver un prix de départ.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Proportionnalité et pourcentages

Augmenter de 20 %, c’est multiplier par 1,2. Baisser de 20 %, par 0,8.

Un jean à 50 € augmente de 20 % : 50 × 1,2 = 60 €. En janvier, il est soldé à −20 % : 60 × 0,8 = 48 €.

Pas 50 € ! Surprenant ? Pas quand on connaît l’outil magique : le coefficient multiplicateur.

Augmenter ou diminuer d’un pourcentage

Exemple : une hausse de 20 %

Un abonnement de 50 € augmente de 20 %.

Méthode en deux étapes : l’augmentation vaut $50 \times \dfrac{20}{100} = 10$ €, donc le nouveau prix est $50 + 10 = 60$ €.
Méthode en une étape : $50 + 50 \times 0{,}2$ , c’est $50 \times (1 + 0{,}2)$ , donc $50 \times 1{,}2 = 60$ €.

La seconde méthode est plus rapide : augmenter de 20 %, c’est multiplier par 1,2. De même, baisser de 20 %, c’est garder 80 % du prix, donc multiplier par 0,8.

Le coefficient multiplicateur

Augmenter une quantité de $t\ \%$ , c’est la multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ .
Diminuer une quantité de $t\ \%$ , c’est la multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ .

Ce nombre s’appelle le coefficient multiplicateur (CM) :

\text{valeur d’arrivée} = \text{valeur de départ} \times \text{CM}

Un peu d’histoire

Les pourcentages ont une longue histoire liée à l’argent. Sous l’empereur romain Auguste, une taxe appelée centesima rerum venalium prélevait un centième du prix des marchandises vendues aux enchères : un impôt de 1 %. Au XVe siècle, les marchands italiens écrivaient leurs taux d’intérêt « per cento » (« pour cent »), qu’ils abrégeaient en « p cento », puis en un petit symbole griffonné. À force d’être recopié à la main, ce symbole s’est transformé peu à peu… en notre %.

Évolution	+5 %	+20 %	+100 %	−10 %	−25 %	−50 %
CM	1,05	1,2	2	0,9	0,75	0,5

Un CM supérieur à 1 traduit une hausse ; un CM compris entre 0 et 1 traduit une baisse. Et une hausse de 100 %, c’est doubler !

Des évolutions successives

Que se passe-t-il quand on applique deux évolutions l’une après l’autre ? Règle les deux curseurs, ou essaie les boutons. Observe la valeur finale, et compare l’évolution globale à la somme des deux pourcentages.

Avec +20 % puis −20 %, on part de 200 € et on arrive à 192 € : une baisse de 4 %. La baisse de 20 % s’applique à 240 €, un montant plus grand que celui sur lequel la hausse a été calculée : elle « enlève » donc plus d’euros.

Évolutions successives

Appliquer successivement deux évolutions de coefficients $\text{CM}_1$ et $\text{CM}_2$ , c’est multiplier par :

\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2

On multiplie les coefficients ; on n’additionne jamais les pourcentages.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Si une valeur $V_0$ subit une évolution de coefficient $\text{CM}_1$ , elle devient $V_1 = V_0 \times \text{CM}_1$ . La seconde évolution s’applique à $V_1$ (et non à $V_0$ ) :

V_2 = V_1 \times \text{CM}_2 = V_0 \times \text{CM}_1 \times \text{CM}_2

Pourquoi une hausse de $t$ % suivie d’une baisse de $t$ % fait toujours perdre ? Avec $x = \dfrac{t}{100}$ , le coefficient global vaut $(1 + x)(1 - x) = 1 - x^2$ (identité remarquable). Comme $x^2 > 0$ , il est toujours inférieur à 1. Pour $t = 20$ : $1 - 0{,}2^2 = 0{,}96$ , soit une baisse de 4 %.

Exemple : les soldes

Un manteau à 120 € est soldé à −30 %, puis on applique une seconde démarque de −20 %.

Les coefficients sont $0{,}7$ et $0{,}8$ .
Coefficient global : $0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56$ .
Prix final : $120 \times 0{,}56 = 67{,}20$ €.
$0{,}56 = 1 - 0{,}44$ : c’est une baisse globale de 44 %, et non de 50 %.

Calculer un pourcentage d’évolution

Taux d’évolution

Quand une quantité passe d’une valeur de départ $V_D$ à une valeur d’arrivée $V_A$ , le taux d’évolution vaut :

t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D} \times 100

On divise toujours par la valeur de départ.

Exemple : le prix du ticket de cinéma

Un ticket passe de 8 € à 9,20 €. Le taux d’évolution est $\dfrac{9{,}20 - 8}{8} \times 100 = \dfrac{1{,}20}{8} \times 100 = 15$ : c’est une hausse de 15 %. Vérification : $8 \times 1{,}15 = 9{,}20$ €.

Retrouver la valeur de départ

Exemple : un prix avant réduction

Après une réduction de 25 %, une console coûte 270 €. Quel était son prix avant ?

Le coefficient est $0{,}75$ , donc $\text{prix avant} \times 0{,}75 = 270$ .
Pour retrouver le prix avant, on divise par le coefficient : $270 \div 0{,}75 = 360$ €.

Les pièges classiques

Pour revenir en arrière, on divise par le CM. Ajouter 25 % à 270 € donne 337,50 €, pas 360 € !
+10 % puis +10 %, ce n’est pas +20 % : $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$ , soit +21 %.
Une baisse ne peut pas dépasser 100 % (on arriverait à un prix négatif). Une hausse, si : +150 %, c’est multiplier par 2,5.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Les soldes : un article à 80 € soldé à −40 % coûte $80 \times 0{,}6 = 48$ €. Avec une démarque supplémentaire de −10 %, il passe à $48 \times 0{,}9 = 43{,}20$ € : globalement −46 %, pas −50 %.
L’épargne : un livret à 3 % par an multiplie ton argent par 1,03 chaque année. 1 000 € deviennent $1\,000 \times 1{,}03 \times 1{,}03 \approx 1\,060{,}90$ € en 2 ans.
La TVA : un prix hors taxe de 100 € avec une TVA de 20 % donne un prix TTC de $100 \times 1{,}2 = 120$ €. Pour retrouver le prix HT d’un objet à 60 € TTC : $60 \div 1{,}2 = 50$ €.
L’actualité : « la population de la ville a augmenté de 8 % en 10 ans » : si elle comptait 25 000 habitants, elle en compte maintenant $25\,000 \times 1{,}08 = 27\,000$ .
Le sport : un club passe de 120 à 150 licenciés. Le taux d’évolution est $\dfrac{150 - 120}{120} \times 100 = 25\ \%$ .

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Par combien faut-il multiplier un prix pour l’augmenter de 15 % ?
Quel est le coefficient multiplicateur d’une baisse de 35 % ?
Un vélo à 400 € est soldé à −15 %. Quel est son nouveau prix (en €) ?
Un loyer augmente de 10 % une année, puis encore de 10 % l’année suivante. Quelle est l’augmentation globale (en %) ?
Le prix d’une place de concert passe de 40 € à 50 €. Le taux d’évolution est :
Après une remise de 20 %, un casque coûte 64 €. Quel était son prix avant la remise (en €) ?