5e 🔢 Nombres et calcul Étape 18 / 29 du parcours

Proportionnalité et pourcentages

Proportionnalité et pourcentages : coefficient, tableau, graphique en droite passant par l’origine, produit en croix et calcul de x % d’un nombre.

Deux fois plus de pommes, deux fois plus cher : c’est la proportionnalité.

Au marché, 1 kg de pommes coûte 1,50 €, 2 kg coûtent 3 € et 3 kg coûtent 4,50 € : on multiplie toujours par 1,5.

Les pourcentages marchent pareil : une remise de 25 % sur 80 €, c’est 20 € d’économie.

Qu’est-ce que la proportionnalité ?

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.

Un peu d’histoire

On raconte que, vers 600 av. J.-C., le savant grec Thalès a mesuré la hauteur de la grande pyramide d’Égypte… sans y grimper ! Il a planté un bâton dans le sable et attendu le moment où l’ombre du bâton était exactement aussi longue que le bâton. À cet instant, l’ombre de la pyramide était, elle aussi, égale à sa hauteur : il suffisait de la mesurer au sol (en comptant à partir du centre de la pyramide). Son astuce repose sur la proportionnalité : au même moment, la longueur des ombres est proportionnelle à la hauteur des objets. Cette histoire nous est parvenue par des auteurs grecs bien plus tardifs, comme Plutarque, mais l’idée est parfaitement juste.

Pour les pommes, on multiplie toujours la masse par 1,5 pour obtenir le prix :

Masse (kg)	1	2	3	4
Prix (€)	1,5	3	4,5	6

Le coefficient est $1{,}5$ : c’est le prix d’un kilo.

Reconnaître un tableau de proportionnalité

Divise chaque nombre de la 2e ligne par celui du dessus. Si tu trouves toujours le même quotient, c’est un tableau de proportionnalité. Ici : $1{,}5 \div 1 = 3 \div 2 = 4{,}5 \div 3 = 6 \div 4 = 1{,}5$ .

Le graphique : une droite qui passe par l’origine

Place les points du tableau dans un repère : ils sont alignés, sur une droite qui passe par l’origine (le point de coordonnées $(0 ; 0)$ ). C’est logique : 0 kg de pommes coûte 0 €.

Bouge le curseur pour changer le prix du kilo : la droite tourne, mais passe toujours par l’origine. Puis ajoute un sac payant à 3 € : les points restent alignés, mais la droite ne passe plus par l’origine, et la dernière ligne du tableau n’est plus constante. Ce n’est plus proportionnel !

Proportionnalité et graphique

Une situation est de proportionnalité si et seulement si sa représentation graphique est formée de points alignés avec l’origine du repère.

Calculer une quatrième proportionnelle

Souvent, on connaît trois nombres et on cherche le quatrième. Plusieurs méthodes marchent.

La recette de crêpes

Pour 4 personnes, il faut 250 g de farine. Combien en faut-il pour 6 personnes ?

Méthode 1 — passer par l’unité. Pour 1 personne : $250 \div 4 = 62{,}5$ g. Pour 6 personnes : $62{,}5 \times 6 = 375$ g.

Méthode 2 — additionner des colonnes. 6 personnes, c’est 4 personnes + 2 personnes. Pour 2 personnes, il faut la moitié de 250 g, soit 125 g. Donc $250 + 125 = 375$ g.

Méthode 3 — le produit en croix.

Personnes	4	6
Farine (g)	250	?

$? = \dfrac{250 \times 6}{4} = \dfrac{1\,500}{4} = 375$ g.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi le produit en croix marche-t-il ? Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la 1re ligne à la 2e en multipliant toujours par le même coefficient $k$ :

250 = 4 \times k \qquad\text{et}\qquad ? = 6 \times k

La première égalité donne $k = \dfrac{250}{4}$ . En remplaçant dans la seconde : $? = 6 \times \dfrac{250}{4} = \dfrac{250 \times 6}{4}$ . Le produit en croix n’est donc qu’un raccourci du passage par le coefficient.

Attention

Toutes les situations ne sont pas proportionnelles ! Ton âge et ta taille, par exemple : à 10 ans tu ne mesures pas deux fois plus qu’à 5 ans. Avant de calculer, demande-toi toujours : « Si je double l’un, est-ce que l’autre double aussi ? »

Les pourcentages

Un pourcentage est une proportion exprimée « sur 100 ». Dire que 30 % des élèves d’un collège viennent en bus, c’est dire que 30 élèves sur 100 viennent en bus, et donc 60 sur 200, 90 sur 300…

Prendre un pourcentage

Pour calculer $p\,\%$ d’une quantité $N$ , on multiplie $N$ par $\dfrac{p}{100}$ :

p\,\% \text{ de } N = \frac{p}{100} \times N

Règle le pourcentage et la quantité : la barre entière représente 100 %, la partie coloriée représente le pourcentage choisi.

Les soldes

Un jean coûte 60 €. Il est soldé à −20 %. Combien coûte-t-il ?

Montant de la réduction : $\dfrac{20}{100} \times 60 = 0{,}2 \times 60 = 12$ €.
Nouveau prix : $60 - 12 = 48$ €.

Pourcentages à connaître par cœur

50 %, c’est la moitié ;
25 %, c’est le quart ;
10 %, c’est le dixième (on divise par 10) ;
75 %, ce sont les trois quarts ;
100 %, c’est la totalité.

Calculer un pourcentage

Dans une classe de 25 élèves, 9 font du sport en club. Quel pourcentage cela représente-t-il ?

On cherche combien cela ferait sur 100 : $\dfrac{9}{25} = \dfrac{9 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{36}{100}$ . Donc 36 % des élèves font du sport en club.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour lire une carte : sur une carte au 1/25 000, 4 cm représentent 4 × 25 000 = 100 000 cm, soit 1 km sur le terrain. Les randonneurs s’en servent pour estimer la longueur d’une balade.
À la station-service : le prix payé est proportionnel au nombre de litres. À 1,80 € le litre, un plein de 40 L coûte 40 × 1,8 = 72 €.
Pour la vitesse : un cycliste qui roule à vitesse constante de 20 km/h parcourt 10 km en 30 minutes et 60 km en 3 heures.
Pendant les soldes : une console à 300 € avec −15 % de réduction fait économiser 0,15 × 300 = 45 €. Elle coûte donc 255 €.
Pour la santé : une étiquette indique 12 g de sucre pour 100 g de céréales. Un bol de 40 g contient donc 12 × 0,4 = 4,8 g de sucre.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

3 cahiers coûtent 6 €. Combien coûtent 5 cahiers (en €) ?
Le graphique d’une situation de proportionnalité est…
Ce tableau est-il de proportionnalité ? 2 → 5 ; 4 → 10 ; 6 → 16
Combien font 25 % de 120 ?
Un article à 40 € est soldé à −30 %. Quel est son nouveau prix (en €) ?
Sur 50 élèves, 20 sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela fait-il ?