4e 🔢 Nombres et calcul Étape 19 / 29 du parcours

Multiplier des nombres relatifs

Multiplier des nombres relatifs avec la règle des signes : un robot sur une droite graduée montre pourquoi « moins par moins donne plus ».

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les nombres relatifs

Deux signes pareils donnent + ; deux signes différents donnent −.

La nuit, en montagne, la température baisse de 2 °C par heure. En 4 heures : $4 \times (-2) = -8$ , soit 8 °C de moins.

Et il y a 3 heures ? $(-3) \times (-2) = +6$ : il faisait 6 °C de plus. Moins par moins donne plus !

Ce que tu sais déjà

Un nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à zéro : $-7$ a pour signe « − » et pour distance à zéro 7. Tu sais déjà les additionner. Maintenant, on les multiplie.

Commençons par un cas facile. $4 \times (-2)$ , c’est « 4 fois $-2$ » :

4 \times (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -8

Quatre baisses de 2 °C font une baisse de 8 °C. Pas de surprise ! Mais que veut dire $(-3) \times (-2)$ ? On ne peut pas additionner « −3 fois » quelque chose… Il faut une autre idée.

Le robot et la marche arrière

Imagine un robot posé sur la droite graduée, au point 0.

Le nombre $b$ indique où il regarde et la longueur de ses pas : si $b$ est positif il regarde vers la droite, si $b$ est négatif il regarde vers la gauche.
Le nombre $a$ indique combien de pas il fait : si $a$ est positif il avance, si $a$ est négatif il fait une marche arrière.

Son point d’arrivée, c’est $a \times b$ . Règle les curseurs $a$ et $b$ , puis clique sur « Animer ». Essaie surtout $a = -3$ et $b = -4$ : le robot regarde vers la gauche… et recule. Où arrive-t-il ?

Tu as vu : un robot qui regarde vers la gauche et recule va… vers la droite ! Reculer en tournant le dos au négatif, c’est aller vers le positif. Voilà pourquoi « moins par moins donne plus ».

La règle des signes

Règle des signes

Pour multiplier deux nombres relatifs :

on multiplie leurs distances à zéro ;
on trouve le signe du résultat :
- deux nombres de même signe → produit positif ;
- deux nombres de signes contraires → produit négatif.

(+) \times (+) = (+) \qquad (-) \times (-) = (+) \qquad (+) \times (-) = (-) \qquad (-) \times (+) = (-)

Un peu d’histoire

Les règles de calcul avec les nombres négatifs ont été écrites vers 628 par le mathématicien indien Brahmagupta. Il parlait de « fortunes » (nombres positifs) et de « dettes » (nombres négatifs), et il affirmait déjà que le produit de deux dettes est une fortune. En Europe, ces nombres ont longtemps fait peur : on les appelait des « nombres absurdes ». Même l’écrivain Stendhal raconte, dans ses souvenirs d’enfance, qu’il était furieux que personne ne sache lui expliquer pourquoi « moins par moins donne plus » !

Quatre calculs

$(+5) \times (+3) = +15$ : même signe.
$(-5) \times (-3) = +15$ : même signe.
$(-5) \times 3 = -15$ : signes contraires.
$6 \times (-0{,}5) = -3$ : signes contraires.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

On veut que les règles de calcul habituelles restent vraies, en particulier la distributivité. Calculons $(-3) \times (2 + (-2))$ de deux façons.

D’un côté, $2 + (-2) = 0$ , donc le produit vaut $(-3) \times 0 = 0$ .
De l’autre, en développant : $(-3) \times 2 + (-3) \times (-2) = -6 + (-3) \times (-2)$ .

Les deux résultats sont égaux, donc $-6 + (-3) \times (-2) = 0$ . Le nombre $(-3) \times (-2)$ est donc l’opposé de $-6$ : c’est $+6$ . « Moins par moins donne plus » n’est pas une convention arbitraire : c’est la seule règle qui ne casse pas la distributivité.

Et si l’un des facteurs vaut 0 ? Le produit vaut 0, quel que soit l’autre nombre : le robot ne bouge pas.

Plusieurs facteurs : on compte les « − »

Quand il y a plus de deux facteurs, on peut les multiplier deux par deux. Mais il existe un raccourci.

Produit de plusieurs facteurs

Un produit de nombres relatifs non nuls est :

positif s’il contient un nombre pair de facteurs négatifs ;
négatif s’il contient un nombre impair de facteurs négatifs.

Calculer (−2) × 5 × (−1) × (−3)

On compte les facteurs négatifs : $-2$ , $-1$ et $-3$ , soit 3 facteurs. C’est impair : le produit est négatif.
On multiplie les distances à zéro : $2 \times 5 \times 1 \times 3 = 30$ .
Résultat : $-30$ .

Et la division ?

Diviser, c’est multiplier par l’inverse. La division suit donc exactement la même règle des signes :

(-18) \div (-3) = 6 \qquad\qquad 18 \div (-3) = -6 \qquad\qquad \frac{-20}{4} = -5

Retour à la montagne

La température qui baisse

La température baisse de 2 °C par heure : sa variation est $-2$ par heure.

Dans 4 heures : $4 \times (-2) = -8$ . Il fera 8 °C de moins.
Il y a 3 heures : on remonte le temps, donc on compte $-3$ heures. $(-3) \times (-2) = +6$ . Il faisait 6 °C de plus, ce qui est logique : la nuit refroidit, donc avant, il faisait plus chaud !

Les pièges classiques

Ne mélange pas avec l’addition. $(-3) + (-4) = -7$ , mais $(-3) \times (-4) = +12$ . La règle des signes ne concerne que les produits et les quotients.
Attention aux parenthèses. $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ , mais $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ .
Dans $-2 \times 5 - 4$ , on fait d’abord le produit : $-10 - 4 = -14$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Météo et sciences : un congélateur refroidit de 3 °C toutes les 10 minutes. En 40 minutes, la variation est $4 \times (-3) = -12$ °C.
Argent de poche : un abonnement de jeu vidéo prélève 8 € par mois. Sur un an, ton solde varie de $12 \times (-8) = -96$ €.
Plongée sous-marine : un plongeur descend de 1,5 m par seconde, donc son altitude varie de $-1{,}5$ m/s. Au bout de 10 s, il est à $10 \times (-1{,}5) = -15$ m.
Jeux vidéo : chaque coup reçu fait perdre 25 points de vie. Après 6 coups : $6 \times (-25) = -150$ points. Et si on annule les 2 derniers coups grâce à un « retour en arrière », on récupère $(-2) \times (-25) = +50$ points.
Ascenseurs et drones : un drone descend de 3 m par seconde. Pour savoir où il était 4 secondes plus tôt, on calcule $(-4) \times (-3) = +12$ : il était 12 m plus haut. C’est ce type de calcul qu’utilise un logiciel pour « rembobiner » une trajectoire.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut (−7) × (−6) ?
Quel est le signe de (−1) × 4 × (−2) × (−5) × 3 ?
Combien vaut (−36) ÷ 4 ?
Combien vaut −5² ?
Un sous-marin descend de 12 m par minute. De combien de mètres son altitude varie-t-elle en 5 minutes ? (réponds avec le signe)
Une piscine se vide : son niveau baisse de 4 cm par heure. Il y a 3 heures, le niveau était-il plus haut ou plus bas, et de combien de cm ? Donne la variation (−3) × (−4).