5e 🔢 Nombres et calcul Étape 17 / 29 du parcours

Les propriétés des opérations

Commutativité, associativité et distributivité en 5e : les trois propriétés des opérations qui permettent de calculer plus vite et sans erreur.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les priorités opératoires , Calcul mental : les astuces

Changer l’ordre, regrouper, distribuer : trois règles pour calculer plus facilement.

Calcule de tête $4 \times 37 \times 25$ . Dur ? Échange 37 et 25 : $4 \times 25 = 100$ , et $100 \times 37 = 3\,700$ .

Pas de magie : ce sont les propriétés des opérations, que tu utilises déjà sans le savoir. Leurs noms font un peu peur ; leurs idées, pas du tout.

La commutativité : l’ordre ne compte pas

Commutativité

L’addition et la multiplication sont commutatives : on peut changer l’ordre des termes ou des facteurs sans changer le résultat. Pour tous nombres $a$ et $b$ :

a + b = b + a \qquad a \times b = b \times a

Un paquet de 3 rangées de 4 biscuits, vu de côté, devient 4 rangées de 3 biscuits. Ce sont toujours les mêmes 12 biscuits !

Visualise les trois propriétés

Choisis une propriété, règle les nombres avec les curseurs, puis clique sur « Réarranger ». Les jetons bougent… mais leur nombre ne change jamais.

L’associativité : les parenthèses voyagent

Associativité

L’addition et la multiplication sont associatives : dans une suite d’additions (ou de multiplications), on peut regrouper les termes comme on veut. Pour tous nombres $a$ , $b$ et $c$ :

(a + b) + c = a + (b + c) \qquad (a \times b) \times c = a \times (b \times c)

Avec la commutativité et l’associativité ensemble, on peut donc réordonner et regrouper librement une suite d’additions, ou une suite de multiplications. C’est le secret du calcul de l’introduction.

Le ticket de caisse

Au marché, tu achètes des fraises à 3,70 €, du pain à 1,85 €, des œufs à 2,30 € et du fromage à 4,15 €.

On regroupe les prix qui « vont bien ensemble » :

(3{,}70 + 2{,}30) + (1{,}85 + 4{,}15) = 6 + 6 = 12

Total : 12 €. Deux calculs ronds au lieu de trois additions à virgule !

La distributivité : multiplier un paquet

Distributivité de la multiplication

Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction : le facteur $k$ est « distribué » à chaque terme de la parenthèse.

Les places de cinéma

Une séance coûte 9 € la place, plus 3 € pour les lunettes 3D. Combien paient 7 amis ?

Méthode 1 : $7 \times (9 + 3) = 7 \times 12 = 84$ €.
Méthode 2 : $7 \times 9 + 7 \times 3 = 63 + 21 = 84$ €.

Les deux méthodes donnent bien le même prix : c’est la distributivité.

Calcul mental express

8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816

6 \times 99 = 6 \times (100 - 1) = 600 - 6 = 594

Les pièges classiques

Attention

La soustraction et la division ne sont ni commutatives ni associatives : $10 - 4 \neq 4 - 10$ , $12 \div 3 \neq 3 \div 12$ , et $(20 - 5) - 3 = 12$ alors que $20 - (5 - 3) = 18$ .
On ne mélange pas les opérations : $(2 + 3) \times 4 \neq 2 + (3 \times 4)$ . L’associativité marche pour une suite d’additions ou une suite de multiplications, pas pour un mélange.
Dans $k \times (a + b)$ , il faut multiplier les deux termes : $5 \times (10 + 2)$ ne vaut pas $50 + 2$ .

Pourquoi la distributivité est vraie— facultatif, à sauter en première lecture

Imagine un rectangle de largeur $k$ et de longueur $a + b$ . Son aire vaut $k \times (a + b)$ . Coupe-le en deux par un trait : on obtient un rectangle $k \times a$ et un rectangle $k \times b$ . L’aire totale n’a pas changé, donc $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ . C’est exactement ce que font les jetons du widget en mode « Distributivité » : les $k$ lignes se séparent en un bloc bleu et un bloc orange.

Des noms venus du XIXe siècle

On calcule avec ces propriétés depuis l’Antiquité : les scribes babyloniens et égyptiens découpaient déjà leurs multiplications en morceaux. Mais leurs noms savants sont bien plus récents. Vers 1814, le mathématicien français François-Joseph Servois invente les mots « commutatif » et « distributif », à partir du latin commutare (échanger) et distribuere (répartir). Le mot « associatif » arrive un peu plus tard, vers 1844, sous la plume de l’Irlandais William Rowan Hamilton. Il venait d’inventer des nombres étranges, les quaternions, pour lesquels $a \times b$ n’est pas égal à $b \times a$ : il fallait bien des mots pour dire ce qui marche… et ce qui ne marche plus !

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En calcul mental : pour payer 4 menus à 12,50 €, on fait $4 \times 12{,}50 = 4 \times 12 + 4 \times 0{,}50 = 48 + 2 = 50$ €.
Au rayon fruits : 25 kg de pommes à 4 € le kilo, c’est $25 \times 4 = 100$ € ; savoir que $25 \times 4 = 4 \times 25$ permet de choisir le calcul le plus facile.
En sport : 3 équipes de basket avec chacune 5 titulaires et 7 remplaçants, cela fait $3 \times (5 + 7) = 15 + 21 = 36$ joueurs.
En informatique : les processeurs additionnent souvent des listes de nombres dans le désordre, en les regroupant pour aller plus vite ; c’est l’associativité qui garantit que le total reste le même.
En bricolage : pour poser une plinthe autour d’une pièce de 4,20 m sur 3,80 m, on calcule $2 \times (4{,}20 + 3{,}80) = 2 \times 8 = 16$ m, plus rapide que $2 \times 4{,}20 + 2 \times 3{,}80$ .

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle égalité illustre la commutativité ?
Calcule astucieusement 25 × 13 × 4.
Calcule 7 × 98 en utilisant la distributivité.
Laquelle de ces opérations est commutative ?
Un club achète 6 ballons à 15 € et 6 pompes à 5 €. Combien paie-t-il en tout (en €) ?
Au marché : 2,60 € + 4,75 € + 1,40 € + 0,25 €. Quel est le total (en €) ?