5e 🔢 Nombres et calcul Étape 16 / 29 du parcours

Les priorités opératoires

Les priorités opératoires expliquées pas à pas : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions de gauche à droite.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les tables de multiplication , La division

Dans un calcul, on fait les multiplications avant les additions.

Au cinéma, Léo paie 2 places à 9 € et un pop-corn à 6 € : il tape $6 + 2 \times 9$ . Inès calcule de gauche à droite et trouve 72 €.

La calculatrice affiche 24 €, et elle a raison : elle respecte les priorités opératoires, pour qu’un calcul ait un seul résultat.

Pourquoi a-t-on besoin d’une règle ?

Le calcul $6 + 2 \times 9$ peut se lire de deux façons :

de gauche à droite : $6 + 2 = 8$ , puis $8 \times 9 = 72$ ;
multiplication d’abord : $2 \times 9 = 18$ , puis $6 + 18 = 24$ .

Deux résultats différents pour la même écriture, ce serait la catastrophe : ton ticket de caisse, ta moyenne ou ton score de jeu dépendraient de la personne qui calcule ! Les mathématiciens se sont donc mis d’accord sur un ordre.

Les règles de priorité

Les priorités opératoires

Dans un calcul, on effectue dans cet ordre :

les calculs entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ;
les multiplications et les divisions ;
les additions et les soustractions.

Quand plusieurs opérations ont la même priorité, on les effectue de gauche à droite.

Ainsi, $6 + 2 \times 9 = 6 + 18 = 24$ : Léo paie bien 24 €.

Un peu d’histoire

Les parenthèses n’ont pas toujours existé ! On en trouve chez quelques auteurs italiens au XVI^e siècle, comme Niccolò Tartaglia, mais pendant longtemps les mathématiciens préféraient tracer une barre au-dessus des termes à regrouper. Ce sont surtout Leibniz et Euler, au XVIII^e siècle, qui ont rendu les parenthèses populaires. Les priorités, elles, ne sont pas un théorème mais une convention que tout le monde a adoptée pour se comprendre. Et quand on écrit mal un calcul… En 2019, l’expression « 8 ÷ 2(2 + 2) » a enflammé Internet : des millions de personnes se disputaient entre 16 et 1 !

À toi de jouer

Dans le calcul ci-dessous, clique sur l’opération qu’il faut faire en premier. Si tu as raison, elle est surlignée puis remplacée par son résultat. Sinon, une explication t’aide. Le bouton « Étape suivante » fait l’étape à ta place, et « Autre calcul » propose un nouveau défi. À la fin, regarde ce qu’on aurait trouvé en calculant bêtement dans l’ordre de lecture !

Exemples résolus pas à pas

Les courses : 3 × 4 + 5 × 2

Tu achètes 3 cahiers à 4 € et 5 stylos à 2 €.

\begin{aligned} 3 \times 4 + 5 \times 2 &= 12 + 10 \quad \text{(les deux produits d’abord)} \\ &= 22 \end{aligned}

Tu paies 22 €. Ici, l’écriture sans parenthèses correspond exactement au ticket de caisse.

Partager une pizza : (15 + 9) ÷ 4

Deux pizzas coûtent 15 € et 9 €. Quatre amis partagent la note. Il faut d’abord additionner les prix, puis diviser : on met donc des parenthèses.

(15 + 9) \div 4 = 24 \div 4 = 6

Chacun paie 6 €. Sans les parenthèses, $15 + 9 \div 4 = 15 + 2{,}25 = 17{,}25$ : ce n’est pas du tout la même chose !

Même priorité : 48 ÷ 4 × 2

La division et la multiplication ont la même priorité : on va de gauche à droite.

48 \div 4 \times 2 = 12 \times 2 = 24

Et non pas $48 \div 8 = 6$ !

Un calcul complet : 30 − 2 × (4 + 3 × 2)

Parenthèses d’abord. Dedans, la multiplication passe avant l’addition : $4 + 3 \times 2 = 4 + 6 = 10$ .
On obtient $30 - 2 \times 10$ . La multiplication d’abord : $2 \times 10 = 20$ .
Il reste $30 - 20 = 10$ .

Les écritures à connaître

Signe × caché et trait de fraction

Devant une parenthèse, le signe × est souvent sous-entendu : $3(4 + 1)$ veut dire $3 \times (4 + 1) = 15$ .
Un trait de fraction joue le rôle de parenthèses : dans $\dfrac{12 + 8}{4}$ , on calcule tout le numérateur avant de diviser : $\dfrac{20}{4} = 5$ .
Pour taper $\dfrac{12 + 8}{4}$ sur une calculatrice, il faut écrire (12 + 8) ÷ 4.

Les erreurs fréquentes

Calculer de gauche à droite sans réfléchir : $5 + 3 \times 2$ vaut $11$ , pas $16$ .
Oublier « de gauche à droite » pour les soustractions : $20 - 5 - 3 = 15 - 3 = 12$ , et non $20 - 2 = 18$ .
Oublier les parenthèses quand on écrit un calcul en une seule ligne, par exemple pour une moyenne.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Faire ta moyenne : avec 12, 15 et 9 sur 20, ta moyenne est $(12 + 15 + 9) \div 3 = 12$ . Sans parenthèses, la calculatrice ferait $12 + 15 + 3 = 30$ : une moyenne sur 20 qui vaut 30, impossible !
Les tableurs : dans une feuille de calcul, la formule =B2*3+C2 calcule d’abord B2*3. Pour le prix de 3 places de concert à 25 € plus 4 € de frais, on obtient $25 \times 3 + 4 = 79$ €.
Programmer un jeu vidéo : le score d’un niveau peut être points = 100 + 50 * etoiles. Avec 3 étoiles, l’ordinateur calcule $100 + 150 = 250$ points, jamais $150 \times 3 = 450$ .
Les recettes et les courses : 2 kg de pommes à 3 € le kg et un pot de miel à 7 € : $2 \times 3 + 7 = 13$ €.
Le sport : au décathlon, au basket… on compte des points pondérés. Au basket, 5 paniers à 3 points, 8 paniers à 2 points et 4 lancers francs donnent $5 \times 3 + 8 \times 2 + 4 = 35$ points.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut 8 + 4 × 3 ?
Combien vaut 40 − 10 − 5 ?
Combien vaut 2 × (7 − 3 × 2) ?
Quelle opération fait-on en premier dans 18 − 6 ÷ 3 + 1 ?
Une famille achète 4 billets de musée à 12 € et paie 10 € de parking. Combien paie-t-elle en tout (en €) ?
Trois amis partagent l’addition d’un restaurant : 27 € et 18 €. Quel calcul donne la part de chacun ?