3e 🔢 Nombres et calcul Étape 24 / 29 du parcours

Les ratios et le partage proportionnel

Ratios en 3e : comprendre l’écriture a:b, simplifier un ratio et partager une somme proportionnellement en calculant la valeur d’une part.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Proportionnalité et pourcentages , Fractions égales et simplification

Partager selon un ratio, c’est donner à chacun un nombre de parts égales.

Alice, Bilal et Chloé ont misé 3 €, 2 € et 1 € sur un billet qui gagne 120 €. On coupe 120 € en $3 + 2 + 1 = 6$ parts de 20 €.

Alice reçoit 60 €, Bilal 40 € et Chloé 20 € : c’est un partage selon le ratio 3 : 2 : 1. Pas de dispute !

Qu’est-ce qu’un ratio ?

Définition

Deux nombres $x$ et $y$ sont dans le ratio $a : b$ (on lit « $a$ pour $b$ ») si $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$ , c’est-à-dire si $x$ et $y$ sont proportionnels à $a$ et $b$ .

De même, $x$ , $y$ et $z$ sont dans le ratio $a : b : c$ si $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$ .

Concrètement, un ratio $3 : 2$ signifie : « pour 3 unités de la première quantité, il y a 2 unités de la seconde ». Dans une classe où le ratio filles : garçons est $3 : 2$ , il y a 3 filles pour 2 garçons… donc 15 filles pour 10 garçons, ou 18 pour 12.

Ratios égaux

On ne change pas un ratio en multipliant ou divisant tous ses nombres par un même nombre non nul :

12 : 8 = 3 : 2 \quad (\text{on divise par } 4) \qquad 0{,}5 : 2 = 1 : 4 \quad (\text{on multiplie par } 2)

Comme pour une fraction, on simplifie un ratio en divisant par un diviseur commun.

Le partage proportionnel en image

Règle la somme à partager et le nombre de parts de chacun. La barre est découpée en parts toutes égales ; chacun reçoit autant de parts que son nombre dans le ratio. Mets Chloé à 0 pour un partage à deux.

La méthode de la « part »

Partager une somme S selon le ratio a : b : c

On compte le nombre total de parts : $n = a + b + c$ .
On calcule la valeur d’une part : $S \div n$ .
Chacun reçoit son nombre de parts × la valeur d’une part.
On vérifie que la somme des montants redonne $S$ .

Le gain de la loterie

120 € à partager selon le ratio $3 : 2 : 1$ .

Nombre de parts : $3 + 2 + 1 = 6$ .
Une part vaut $120 \div 6 = 20$ €.
Alice : $3 \times 20 = 60$ € ; Bilal : $2 \times 20 = 40$ € ; Chloé : $1 \times 20 = 20$ €.
Vérification : $60 + 40 + 20 = 120$ €. ✔

Le béton du jardin

Pour un béton de dalle, on mélange ciment, sable et gravier dans le ratio $1 : 2 : 3$ . Il faut 450 kg de mélange sec.

Nombre de parts : $1 + 2 + 3 = 6$ .
Une part : $450 \div 6 = 75$ kg.
Ciment : 75 kg ; sable : $2 \times 75 = 150$ kg ; gravier : $3 \times 75 = 225$ kg.

Retrouver le total à partir d’une part

Dans un sirop, le ratio sirop : eau est $1 : 7$ . Tu as mis 35 cL d’eau. Combien de sirop, et quel volume total ?

L’eau représente 7 parts, donc une part vaut $35 \div 7 = 5$ cL. Il faut 5 cL de sirop, et le verre contient $8 \times 5 = 40$ cL.

Ratio et fractions : deux points de vue

Avec le ratio $3 : 2 : 1$ , Alice reçoit 3 parts sur 6, donc $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ de la somme. Bilal reçoit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ et Chloé $\dfrac{1}{6}$ . Un ratio se traduit donc en fractions du total.

Attention

Le ratio $3 : 2$ ne veut pas dire « 3 parts sur 2 » : il y a $3 + 2 = 5$ parts au total. La fraction d’Alice est $\dfrac{3}{5}$ , pas $\dfrac{3}{2}$ .
L’ordre compte : filles : garçons $= 3 : 2$ n’est pas la même chose que $2 : 3$ .
Pour simplifier un ratio, toutes les quantités doivent être dans la même unité : 50 cL : 2 L, c’est $50 : 200 = 1 : 4$ .

Pourquoi la méthode de la part marche— facultatif, à sauter en première lecture

Si $x$ , $y$ , $z$ sont dans le ratio $a : b : c$ , alors $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$ . Appelons $p$ cette valeur commune : c’est la valeur d’une part. On a donc $x = a p$ , $y = b p$ , $z = c p$ . En additionnant :

S = x + y + z = a p + b p + c p = (a + b + c)\,p

grâce à la distributivité. D’où $p = \dfrac{S}{a + b + c}$ : c’est exactement l’étape 2 de la méthode.

Eudoxe, le maître des rapports

Les Grecs de l’Antiquité adoraient comparer des grandeurs : longueurs, aires, cordes de lyre… Vers 370 av. J.-C., Eudoxe de Cnide invente une théorie des rapports si solide qu’elle fonctionne même pour des longueurs « impossibles » comme la diagonale d’un carré. Environ soixante-dix ans plus tard, Euclide la reprend dans le livre V de ses Éléments. Pendant plus de deux mille ans, architectes, musiciens et peintres ont raisonné avec ces rapports. Et la notation $a : b$ ? Elle est beaucoup plus jeune : les deux-points apparaissent dans des livres anglais au XVIIe siècle, et l’Allemand Leibniz les popularise à la fin de ce siècle, aussi pour noter la division.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En cuisine : une pâte à crêpes classique utilise farine : lait dans le ratio environ $1 : 2$ en masse. Pour 250 g de farine, on met donc environ 500 g (un demi-litre) de lait.
En entreprise : trois associés qui ont investi 20 000 €, 30 000 € et 50 000 € se partagent un bénéfice de 18 000 € selon le ratio $2 : 3 : 5$ , soit 3 600 €, 5 400 € et 9 000 €.
Au garage : un mélange pour mobylette « à 2 % » correspond à un ratio huile : essence de $1 : 50$ . Pour 5 L d’essence, il faut $5\,000 \div 50 = 100$ mL d’huile.
En photo et vidéo : un écran au format $16 : 9$ de 32 cm de large mesure $32 \div 16 \times 9 = 18$ cm de haut.
En arts plastiques : pour un vert tendre, on mélange jaune et bleu dans le ratio $3 : 1$ ; avec 60 mL de jaune, il faut 20 mL de bleu.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Simplifie le ratio 15 : 25.
On partage 84 € selon le ratio 4 : 3. Combien reçoit celui qui a 4 parts (en €) ?
Un béton se fait avec ciment : sable : gravier = 1 : 2 : 3. Pour 300 kg de mélange, combien de kg de gravier ?
Dans une classe, le ratio filles : garçons est 2 : 3 et il y a 30 élèves. Combien y a-t-il de filles ?
Avec le ratio 3 : 5, quelle fraction du total représente la première part ?
Une vinaigrette utilise vinaigre : huile = 1 : 3. Tu as 45 mL d’huile. Combien de mL de vinaigre ?