5e 🍕 Fractions et décimaux Étape 3 / 5 du parcours

Fractions égales et simplification

Fractions égales et simplification de fractions : multiplier ou diviser en haut et en bas, fractions irréductibles, avec des barres à découper.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Découvrir les fractions

Deux fractions égales s’écrivent différemment mais représentent le même nombre.

Léa mange $\frac{1}{2}$ d’une tarte coupée en 2. Tom mange $\frac{4}{8}$ d’une tarte identique, coupée en 8.

Qui a mangé le plus ? Ni l’un ni l’autre : c’est exactement la même quantité !

Découper les parts en plus petits morceaux

Prends une barre coloriée aux $\frac{2}{3}$ . Si tu coupes chaque tiers en 2, la barre a maintenant 6 parts, et la partie coloriée en compte 4. La quantité coloriée n’a pas bougé : $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ .

Bouge le curseur pour couper chaque part en 2, 3, 4… morceaux. Le trait pointillé montre que la longueur coloriée reste la même. Puis clique sur « Simplifier » pour faire le chemin inverse.

La propriété fondamentale

Fractions égales

On ne change pas la valeur d’une fraction quand on multiplie (ou on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad \text{et} \qquad \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}

Quand on coupe chaque part en $k$ morceaux, on multiplie le nombre de parts et le nombre de parts coloriées par $k$ . C’est exactement ce que dit la propriété.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Rappelle-toi : $\frac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ . Multiplions-le par $b \times k$ :

\frac{a}{b} \times (b \times k) = \left(\frac{a}{b} \times b\right) \times k = a \times k

Donc $\frac{a}{b}$ est aussi le nombre qui, multiplié par $b \times k$ , donne $a \times k$ : c’est exactement la définition de $\frac{a \times k}{b \times k}$ . Les deux fractions sont donc égales.

Compléter une égalité

Complète : $\frac{3}{5} = \frac{\dots}{20}$ .

Pour passer de 5 à 20, on multiplie par 4 (car $5 \times 4 = 20$ ).
On fait la même chose au numérateur : $3 \times 4 = 12$ .
Donc $\frac{3}{5} = \frac{12}{20}$ .

Simplifier une fraction

Simplifier une fraction, c’est l’écrire avec des nombres plus petits, en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Les élèves de la cantine

Dans une classe de 24 élèves, 18 mangent à la cantine. Ils représentent $\frac{18}{24}$ de la classe. Simplifions cette fraction.

18 et 24 sont pairs : on divise par 2. $\frac{18}{24} = \frac{18 \div 2}{24 \div 2} = \frac{9}{12}$ .
9 et 12 sont dans la table de 3 : on divise par 3. $\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$ .
3 et 4 n’ont plus de diviseur commun (à part 1) : on s’arrête.

Donc $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ : trois élèves sur quatre mangent à la cantine. On aurait pu aller plus vite en divisant directement par 6.

Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Par exemple, $\frac{3}{4}$ , $\frac{2}{7}$ et $\frac{5}{9}$ sont irréductibles.

Un peu d’histoire

Pour simplifier d’un seul coup, il faut trouver le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur. Une méthode célèbre pour le trouver est décrite par Euclide dans ses Éléments, vers 300 av. J.-C. : c’est l’algorithme d’Euclide, l’un des plus anciens algorithmes encore utilisés aujourd’hui… y compris par les ordinateurs ! Son principe : on remplace le plus grand des deux nombres par leur différence, et on recommence. Pour 18 et 24 : $24 - 18 = 6$ , et 18 est un multiple de 6 ; le plus grand diviseur commun est 6, d’où $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ en une seule étape.

Les critères de divisibilité à la rescousse

Pour trouver un diviseur commun, utilise les critères que tu connais :

divisible par 2 si le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ;
divisible par 10 s’il se termine par 0 ;
divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3 (ex. 51 : $5 + 1 = 6$ , donc 51 est divisible par 3).

Pourquoi utiliser des fractions égales ?

Comparer des fractions

Pour comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{6}$ , on les écrit avec le même dénominateur : $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ . Or $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$ , donc $\frac{2}{3} < \frac{5}{6}$ .

Donner un résultat simple

Si tu as répondu juste à 15 questions sur 20 à un contrôle, tu as réussi $\frac{15}{20}$ des questions. En simplifiant par 5, on obtient $\frac{3}{4}$ : tu as réussi les trois quarts du contrôle. C’est bien plus parlant !

Les pièges à éviter

Attention

On ne peut pas ajouter le même nombre en haut et en bas : $\frac{1}{2} \neq \frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$ . Seules la multiplication et la division conservent la fraction.
On divise les deux nombres, pas un seul : $\frac{6}{8} \neq \frac{3}{8}$ .
Simplifier ne change pas la valeur de la fraction : c’est toujours le même nombre, écrit plus simplement.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En cuisine : une recette demande $\frac{3}{4}$ de litre de lait, mais ton verre doseur est gradué en huitièmes. Comme $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ , tu verses 6 huitièmes de litre.
Pour lire une note : 15 sur 20 à un contrôle, c’est $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ , autant que 30 sur 40 ou 75 sur 100 : les trois quarts des points.
Au sport : un footballeur qui marque 6 penaltys sur 8 et un autre 9 sur 12 sont aussi efficaces l’un que l’autre : $\frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ .
En musique : une mesure à « 4/4 » contient 4 noires. Deux croches valent une noire : une croche est $\frac{1}{8}$ de ronde, et $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ , une noire !
Dans les sondages : « 40 élèves sur 120 préfèrent le handball » se simplifie en $\frac{40}{120} = \frac{1}{3}$ : un élève sur trois.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle fraction est égale à 2/3 ?
Complète : 3/7 = …/21. Quel est le numérateur manquant ?
Au basket, Inès a réussi 12 lancers francs sur 16. Quelle est la forme irréductible de cette fraction ?
Dans un club de 15 enfants, 10 viennent à vélo. La fraction 10/15 simplifiée s’écrit 2/… Quel est le dénominateur ?
Laquelle de ces fractions est irréductible ?
Est-ce que 1/2 = 2/3 (on a ajouté 1 en haut et en bas) ?