5e 🍕 Fractions et décimaux Étape 4 / 5 du parcours

Additionner des fractions

Additionner et soustraire des fractions : mettre au même dénominateur en re-découpant les parts, puis ajouter les numérateurs. Méthode et exemples.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Fractions égales et simplification

Pour additionner des fractions, on les coupe d’abord en parts de même taille.

Pour tes crêpes, tu verses $\frac{1}{2}$ litre de lait, puis encore $\frac{1}{4}$ de litre. Un demi, c’est deux quarts : $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ de litre.

Surtout pas $\frac{2}{6}$ : c’est moins qu’un demi, ta pâte serait bien sèche !

Quand les dénominateurs sont égaux

Le dénominateur dit en combien de parts on a coupé l’unité ; le numérateur dit combien de parts on prend. Si les parts ont la même taille, on peut simplement les compter.

Même dénominateur

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur :

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d} \qquad\qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d}

Par exemple, $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$ : 3 huitièmes plus 2 huitièmes font 5 huitièmes, comme 3 pommes plus 2 pommes font 5 pommes.

Un peu d’histoire

Il y a près de 4 000 ans, les scribes égyptiens calculaient déjà avec des fractions… mais presque uniquement avec des fractions de numérateur 1, comme $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ ou $\frac{1}{7}$ . Pour écrire $\frac{3}{4}$ , ils notaient $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ : exactement le lait de tes crêpes ! Le célèbre papyrus Rhind, copié par le scribe Ahmès vers 1650 av. J.-C., contient une table qui écrit les fractions $\frac{2}{n}$ comme des sommes de ce type. Quant à la barre horizontale entre numérateur et dénominateur, elle a été popularisée par les mathématiciens arabes, puis en Europe par Fibonacci dans son Liber abaci, en 1202.

Quand les dénominateurs sont différents

$\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{4}$ : les parts n’ont pas la même taille. On ne peut pas les compter ensemble… sauf si on re-découpe les demis en quarts ! Un demi, c’est deux quarts : $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ .

Dans l’animation, règle les deux fractions avec les curseurs (numérateur puis dénominateur). Clique sur « Re-découper » : les barres sont coupées en parts de même taille. Clique ensuite sur « Additionner » pour mettre les parts bout à bout. Le bouton « Opération » permet aussi de soustraire.

La méthode

Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents :

on les écrit avec un dénominateur commun (on multiplie numérateur et dénominateur par le même nombre) ;
on additionne ou on soustrait les numérateurs ;
on simplifie le résultat si c’est possible.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi ne pas additionner les numérateurs et les dénominateurs ? Essaie avec $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ : on trouverait $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Une moitié plus une moitié ferait… une moitié ! C’est absurde : le résultat doit être 1.

La bonne méthode s’explique ainsi. $\frac{a}{d}$ , c’est $a$ parts de taille $\frac{1}{d}$ ; donc $\frac{a}{d} + \frac{b}{d}$ , c’est $a + b$ parts de cette même taille, soit $\frac{a + b}{d}$ . Et l’étape du dénominateur commun ne change aucune valeur, car $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ : couper chaque part en $k$ morceaux ne change pas la quantité. On réécrit donc les fractions sans les modifier, puis on compte des parts de même taille.

Exemples résolus pas à pas

Les crêpes : 1/2 + 1/4

4 est un multiple de 2. On écrit $\frac{1}{2}$ en quarts : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$ .

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Tu as versé $\frac{3}{4}$ de litre de lait, soit 75 cL.

Un trajet : 5/6 − 1/3

Pour aller au collège, Sami met $\frac{5}{6}$ d’heure à pied, mais seulement $\frac{1}{3}$ d’heure à vélo. Combien de temps gagne-t-il ?

6 est un multiple de 3 : $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ .

\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Il gagne une demi-heure, soit 30 minutes.

Avec un nombre entier : 2 + 3/5

Un entier est une fraction de dénominateur 1 : $2 = \frac{10}{5}$ .

2 + \frac{3}{5} = \frac{10}{5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}

Pour aller plus loin : aucun dénominateur n’est multiple de l’autre

En 5e, on travaille surtout avec des dénominateurs dont l’un est un multiple de l’autre. Mais la méthode marche toujours : il suffit de trouver un multiple commun aux deux dénominateurs. Le produit des deux convient toujours ; le plus petit (le PPCM) donne des calculs plus simples.

Un budget : 1/4 + 1/6

Chaque mois, Emma dépense $\frac{1}{4}$ de son argent de poche en sorties et $\frac{1}{6}$ en livres. Quelle fraction a-t-elle dépensée ?

Les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16… ; ceux de 6 sont 6, 12, 18… Le dénominateur commun est 12.

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

Elle a dépensé $\frac{5}{12}$ de son argent de poche. Essaie $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ dans l’animation : tu verras les barres se découper en douzièmes.

L’erreur n° 1

On n’additionne jamais les dénominateurs !

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \neq \frac{2}{6}

La preuve : $\frac{2}{6}$ est plus petit que $\frac{1}{2}$ , alors qu’on a ajouté quelque chose à $\frac{1}{2}$ . Le dénominateur donne la taille des parts : elle ne change pas quand on regroupe des parts de même taille.

Vérifier avec un ordre de grandeur

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ doit être un peu plus que $\frac{1}{2}$ et moins que 1. Le résultat $\frac{3}{4}$ est bien entre les deux. Ce petit contrôle repère beaucoup d’erreurs.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En cuisine : une recette demande $\frac{1}{3}$ de tasse de sucre et $\frac{1}{6}$ de tasse de sucre glace. Au total, $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ tasse de sucre.
En musique : une noire dure $\frac{1}{4}$ de ronde et une croche $\frac{1}{8}$ . Une noire suivie d’une croche durent $\frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ de ronde : c’est ce que compte un musicien pour remplir une mesure.
Avec le temps : un quart d’heure de devoirs puis une demi-heure de piano font $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ d’heure, soit 45 minutes.
En bricolage : avec une planche de 1 m, tu coupes $\frac{2}{5}$ m puis $\frac{3}{10}$ m. Il reste $1 - \frac{4}{10} - \frac{3}{10} = \frac{3}{10}$ m, soit 30 cm.
Pour un budget : si le loyer prend $\frac{1}{3}$ d’un salaire et les courses $\frac{1}{6}$ , cela fait $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ : la moitié du salaire part dans ces deux dépenses.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut 2/7 + 3/7 ?
Combien vaut 1/3 + 1/6 ? (donne la réponse sous forme décimale)
Combien vaut 3/4 − 1/8 ?
Quel numérateur faut-il pour que 2/5 = ?/20 ?
Une bouteille contient 3/4 de litre de jus. Tu bois 1/2 litre. Quelle fraction de litre reste-t-il ? (donne le résultat en décimal)
Un gâteau : Lou en mange 1/3, Tom en mange 1/4. Quelle fraction du gâteau ont-ils mangée ?