4e 🍕 Fractions et décimaux Étape 5 / 5 du parcours

Multiplier et diviser des fractions

Multiplier et diviser des fractions : prendre une fraction d’une fraction dans un rectangle, puis diviser en multipliant par l’inverse.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Additionner des fractions , Multiplier des nombres relatifs

« Les 2/3 de 3/4 », c’est une multiplication : haut × haut, bas × bas.

Il reste les $\frac{3}{4}$ d’une tablette de chocolat et tu en manges les $\frac{2}{3}$ . Tu as mangé ${\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12}}$ , soit la moitié de la tablette.

Bonne nouvelle : c’est bien plus simple que l’addition !

« Les deux tiers de… », c’est une multiplication

Tu sais déjà que prendre les $\frac{2}{3}$ de 12 bonbons, c’est calculer $\frac{2}{3} \times 12 = 8$ . C’est pareil avec une fraction : les $\frac{2}{3}$ de $\frac{3}{4}$ , c’est $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$ .

Le mot « de »

Prendre la fraction $\frac{c}{d}$ d’une quantité, c’est multiplier cette quantité par $\frac{c}{d}$ .

Un peu d’histoire

Les fractions sont très anciennes. Vers 1650 av. J.-C., le scribe égyptien Ahmès recopie le papyrus Rhind, un manuel de calcul où presque toutes les fractions sont des « parts » comme $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ou $\frac{1}{7}$ : pour écrire $\frac{3}{4}$ , les Égyptiens notaient $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ ! Les mathématiciens indiens écrivaient déjà un nombre au-dessus de l’autre, et ce sont des savants arabes qui ont ajouté la barre de fraction. En 1202, l’Italien Fibonacci la fait connaître en Europe dans son Liber abaci.

Voir le produit dans un rectangle

Le grand rectangle représente la tablette entière (1 unité). On la coupe verticalement pour prendre $\frac{a}{b}$ (en bleu), puis on coupe ce morceau horizontalement pour en prendre $\frac{c}{d}$ (en orange). Règle les deux fractions avec les curseurs, puis clique sur « Animer ». Compte les cases : combien y en a-t-il en tout ? Combien sont orange ?

Avec $\frac{2}{3}$ de $\frac{3}{4}$ : la tablette est coupée en $4 \times 3 = 12$ cases, et la partie orange en contient $2 \times 3 = 6$ . Tu as mangé $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ tablette.

Produit de deux fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \qquad (b \neq 0,\ d \neq 0)

Pas besoin de dénominateur commun ici : c’est une erreur fréquente d’en chercher un !

Simplifier avant de multiplier

Calculer 15/8 × 4/9

On pourrait calculer $\frac{15 \times 4}{8 \times 9} = \frac{60}{72}$ puis simplifier. Mais il est plus malin de décomposer d’abord :

\frac{15}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{3 \times 5 \times 4}{2 \times 4 \times 3 \times 3} = \frac{5}{2 \times 3} = \frac{5}{6}

On a barré le 3 et le 4 présents en haut et en bas : les nombres restent petits.

Avec des nombres relatifs, on applique la règle des signes : $-\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = -\frac{6}{35}$ et $\left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

L’inverse d’un nombre

Inverse

Deux nombres sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1. L’inverse d’un nombre $x$ non nul est $\frac{1}{x}$ .

L’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ : on retourne la fraction. Par exemple, $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{15}{15} = 1$ .

L’inverse de 4 est $\frac{1}{4}$ , l’inverse de $\frac{1}{2}$ est 2, et 0 n’a pas d’inverse (aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1).

Diviser par une fraction

Combien de verres de $\frac{1}{8}$ de litre peux-tu remplir avec $\frac{3}{4}$ de litre de jus ? Il faut chercher combien de fois $\frac{1}{8}$ rentre dans $\frac{3}{4}$ : c’est la division $\frac{3}{4} \div \frac{1}{8}$ .

Cette animation est en mode « ÷ ». La barre bleue est la quantité de départ, et on pose bout à bout des morceaux orange tous égaux. Règle $\frac{3}{4}$ et $\frac{1}{8}$ , clique sur « Animer » et compte les morceaux orange. Essaie aussi $\frac{1}{2} \div \frac{1}{3}$ : le dernier morceau ne rentre pas en entier !

Quotient de deux fractions

Diviser par une fraction non nulle, c’est multiplier par son inverse :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Diviser $\frac{a}{b}$ par $\frac{c}{d}$ , c’est chercher le nombre $q$ tel que $q \times \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$ (comme $12 \div 3 = 4$ parce que $4 \times 3 = 12$ ).

Essayons $q = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ :

\left(\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\right) \times \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \left(\frac{d}{c} \times \frac{c}{d}\right) = \frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b}

Ça marche ! Multiplier par l’inverse donne donc bien le quotient cherché.

Les verres de jus : 3/4 ÷ 1/8

\frac{3}{4} \div \frac{1}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{1} = \frac{24}{4} = 6

Tu peux remplir 6 verres. Logique : dans un litre, il y a 8 verres, donc dans trois quarts de litre, il y en a $\frac{3}{4}$ de 8, soit 6.

Un rythme de marche

Une randonneuse parcourt $\frac{9}{2}$ km en $\frac{3}{4}$ d’heure. Quelle distance fait-elle en 1 heure ?

\frac{9}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{9}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{36}{6} = 6

Elle marche à 6 km/h.

Les pièges

Pour multiplier, pas de dénominateur commun : $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .
Pour diviser, on retourne la deuxième fraction (le diviseur), pas la première.
Diviser par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus grand : $5 \div \frac{1}{2} = 10$ . Il y a 10 demi-pizzas dans 5 pizzas !

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Adapter une recette : une recette pour 4 personnes demande $\frac{3}{4}$ de litre de lait. Pour 2 personnes, on en prend la moitié : $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ L, soit 37,5 cL.
Les soldes : un jean coûte 60 €. Il est soldé aux $\frac{3}{4}$ de son prix, puis une carte de fidélité fait payer les $\frac{9}{10}$ de ce nouveau prix. On paie $\frac{9}{10} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{40}$ du prix, soit $\frac{27}{40} \times 60 = 40{,}50$ €.
La musique : une mesure à $\frac{3}{4}$ contient combien de croches ( $\frac{1}{8}$ ) ? $\frac{3}{4} \div \frac{1}{8} = 6$ croches.
Le bricolage : une tringle de $\frac{5}{2}$ m est coupée en morceaux de $\frac{1}{4}$ m. On obtient $\frac{5}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{5}{2} \times 4 = 10$ morceaux.
Les sondages : $\frac{3}{5}$ des élèves d’un collège font du sport, et $\frac{1}{3}$ de ces sportifs font du football. Cela fait $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ des élèves, soit 120 élèves sur 600.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut 2/5 × 3/4 ?
Quel est l’inverse de 7/3 ?
Combien vaut 2/3 ÷ 4/9 ? (réponse décimale)
Combien vaut (−3/4) × 8/9 ? (arrondi au centième)
Un ruban de 3 m est coupé en morceaux de 3/8 m. Combien de morceaux obtient-on ?
Dans une classe, 1/2 des élèves ont un vélo, et 2/3 de ceux-là viennent au collège à vélo. Quelle fraction de la classe vient à vélo ?