6e 📏 Grandeurs et mesures Étape 8 / 19 du parcours

Périmètre et aire du disque

Périmètre du cercle et aire du disque : découvrir le nombre π en déroulant une roue, puis comprendre et utiliser les formules 2πr et πr².

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le cercle , Périmètre et aire

Le tour d’un cercle mesure un peu plus de 3 fois son diamètre : c’est π.

La roue de ton vélo mesure 70 cm de diamètre. À chaque tour, elle avance de π×70≈220{\pi \times 70 \approx 220} cm, soit 2,2 m.

Ce nombre célèbre, π (« pi »), sert aussi à calculer l’aire d’un disque : combien de pâte pour une pizza de 30 cm ?

don dérouledddtour ≈ 3,14 × d

Cercle ou disque ?

Définition
  • Le cercle de centre OO et de rayon rr est la ligne formée par tous les points situés à la distance rr de OO. C’est le « bord ».
  • Le disque est la surface délimitée par ce cercle : le cercle et tout ce qu’il y a à l’intérieur.
  • Le diamètre vaut le double du rayon : D=2×rD = 2 \times r.

On calcule donc le périmètre d’un cercle (une longueur, en cm, m…) et l’aire d’un disque (une surface, en cm², m²…).

Dérouler une roue : le nombre π

Fais rouler la roue sur la règle : elle « déroule » son contour en rouge. La règle est graduée en diamètres de la roue. Combien de diamètres faut-il pour faire un tour complet ?

Dérouler le contour du cercle

Un peu plus de 3 diamètres ! Et ce n’est pas une coïncidence : pour tous les cercles, petits ou grands, le contour mesure environ 3,14 fois le diamètre. Ce nombre s’appelle π.

Le nombre π

Le nombre π est le quotient du périmètre d’un cercle par son diamètre. Il est le même pour tous les cercles :

π≈3,14159…\pi \approx 3{,}14159\ldots

Ses décimales ne s’arrêtent jamais et ne se répètent pas. Dans les calculs, on utilise la touche π de la calculatrice, ou la valeur approchée 3,14.

Un peu d’histoire

Vers 250 av. J.-C., le savant grec Archimède voulait connaître π le plus précisément possible. Son idée : coincer le cercle entre deux polygones, l’un dessiné à l’intérieur et l’autre à l’extérieur, avec de plus en plus de côtés, jusqu’à 96 ! Il a ainsi prouvé que π est compris entre 3+10713 + \frac{10}{71} et 3+173 + \frac{1}{7}, c’est-à-dire entre 3,1408 et 3,1429. La lettre π, elle, n’a été choisie qu’en 1706 par l’Anglais William Jones, puis rendue célèbre par Euler. Aujourd’hui, les ordinateurs connaissent des milliers de milliards de décimales de π, et on fête la « journée de π » chaque 14 mars (3/14 en écriture américaine).

Périmètre d’un cercle

Le périmètre d’un cercle de diamètre DD et de rayon rr est :

P=π×D=2×π×rP = \pi \times D = 2 \times \pi \times r
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi le rapport « périmètre ÷ diamètre » est-il le même pour tous les cercles ? Deux cercles ont toujours la même forme : l’un est un agrandissement de l’autre.

Si on agrandit un cercle 3 fois, son diamètre est multiplié par 3, et son contour aussi (toutes les longueurs sont multipliées par 3). Le quotient peˊrimeˋtrediameˋtre\dfrac{\text{périmètre}}{\text{diamètre}} ne change donc pas : 3×P3×D=PD\dfrac{3 \times P}{3 \times D} = \dfrac{P}{D}. C’est pour cela qu’un seul nombre, π, suffit pour tous les cercles.

La roue de vélo

La roue d’un vélo a un diamètre de 70 cm. Quelle distance parcourt le vélo quand la roue fait un tour ?

  1. P=π×D=π×70P = \pi \times D = \pi \times 70.
  2. P≈219,9P \approx 219{,}9 cm, soit environ 2,2 m.

Pour aller au collège, à 1,1 km = 110 000 cm, la roue fait donc environ 110 000÷219,9≈500110\,000 \div 219{,}9 \approx 500 tours.

L’aire du disque

Pour trouver l’aire d’un disque, découpons-le en parts comme une pizza, puis réarrangeons les parts tête-bêche. Augmente le nombre de parts et clique sur Réarranger.

Découper le disque en parts

Plus il y a de parts, plus la figure ressemble à un parallélogramme (presque un rectangle) :

  • sa hauteur est le rayon rr ;
  • sa base est la moitié du contour du cercle, soit π×r\pi \times r.

Son aire vaut donc base × hauteur =π×r×r= \pi \times r \times r.

Aire d’un disque

L’aire d’un disque de rayon rr est :

A=π×r×r=π×r2\mathcal{A} = \pi \times r \times r = \pi \times r^2
Pizza de 30 cm ou de 40 cm ?

Une pizzeria vend une pizza de 30 cm de diamètre à 9 € et une de 40 cm à 15 €. Laquelle est la plus avantageuse ?

  1. Petite pizza : r=15r = 15 cm, A=π×152=π×225≈707\mathcal{A} = \pi \times 15^2 = \pi \times 225 \approx 707 cm².
  2. Grande pizza : r=20r = 20 cm, A=π×202=π×400≈1 257\mathcal{A} = \pi \times 20^2 = \pi \times 400 \approx 1\,257 cm².
  3. Prix pour 100 cm² : 9÷7,07≈1,279 \div 7{,}07 \approx 1{,}27 € pour la petite ; 15÷12,57≈1,1915 \div 12{,}57 \approx 1{,}19 € pour la grande.

La grande pizza est plus avantageuse : son diamètre n’est que 1,33 fois plus grand, mais elle a presque deux fois plus de surface !

Attention
  • L’aire utilise le rayon, pas le diamètre. Si l’énoncé donne le diamètre, divise-le par 2 d’abord.
  • r2=r×rr^2 = r \times r, et pas 2×r2 \times r ! Pour r=5r = 5 : r2=25r^2 = 25, pas 10.
  • Le périmètre est une longueur (cm), l’aire est une surface (cm²). Ne mélange pas les unités.
  • Avec 3,14 au lieu de π, le résultat est une valeur approchée : écris « ≈ ».

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Le compteur du vélo : il compte les tours de roue grâce à un aimant. Pour une roue de 70 cm de diamètre, chaque tour vaut π×0,7≈2,2\pi \times 0{,}7 \approx 2{,}2 m. Si la roue fait 4 545 tours, tu as parcouru environ 10 km.
  • La cuisine : un moule à tarte de 28 cm a une aire de π×142≈616\pi \times 14^2 \approx 616 cm². Pour une recette prévue pour un moule de 24 cm (≈ 452 cm²), il faut environ 1,4 fois plus de pâte.
  • L’arrosage du jardin : un arroseur rotatif qui projette l’eau à 6 m arrose un disque de π×62≈113\pi \times 6^2 \approx 113 m². Pour une pelouse de 450 m², il faut donc le déplacer au moins 4 fois.
  • L’athlétisme : sur une piste, les virages sont des demi-cercles. Plus un couloir est à l’extérieur, plus son rayon est grand et plus le virage est long. C’est pour ça que, au 400 m, les coureurs ne partent pas tous sur la même ligne : leurs départs sont décalés de plusieurs mètres.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Quel est le périmètre d’un cercle de diamètre 10 cm (arrondi au dixième, en cm) ?

  2. Quelle est l’aire d’un disque de rayon 3 cm (arrondie à l’unité, en cm²) ?

  3. Un disque a un diamètre de 8 m. Pour calculer son aire, on fait :

  4. La roue d’une trottinette a un diamètre de 20 cm. Quelle distance parcourt-elle en 100 tours (arrondie au mètre) ?

  5. Une pizza a un rayon de 15 cm. Quelle est son aire (arrondie à l’unité, en cm²) ?

  6. Si on double le rayon d’un disque, son aire est multipliée par :

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