Les patrons de solides
Patron d’un cube, d’un pavé droit, d’un prisme ou d’un cylindre : comprendre comment une figure plane se replie en solide, et éviter les faux patrons.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les solides , Périmètre et aire du disque
Un patron, c’est la figure plate qu’on plie pour fabriquer un solide.
Déplie une boîte de céréales en décollant les rabats : tu obtiens une grande figure plate faite de rectangles.
C’est le patron de la boîte. Les fabricants le découpent dans du carton, puis le plient et le collent : on passe du plan à l’espace.
Qu’est-ce qu’un patron ?
Le patron d’un solide est une figure plane, d’un seul morceau, qui permet de fabriquer ce solide par pliage, sans que deux faces se superposent et sans trou.
Chaque face du solide apparaît une seule fois dans le patron.
Les patrons ont été popularisés par un artiste : le peintre et graveur allemand Albrecht Dürer. En 1525, dans un livre qui enseigne la géométrie aux artisans et aux peintres, il dessine des solides « dépliés » à plat, prêts à être découpés et pliés. On lui attribue les premiers patrons de polyèdres imprimés. Depuis, des fabricants de boîtes en carton aux ingénieurs qui replient les panneaux solaires des satellites, tout le monde utilise son idée !
Un cube a 6 faces carrées : son patron est donc formé de 6 carrés identiques. Un pavé droit a 6 faces rectangulaires, égales deux à deux.
Plie le patron
Clique sur Plier (ou utilise le curseur) pour voir le patron se replier. Fais glisser le dessin pour tourner autour du solide. Avec Patron suivant, compare plusieurs patrons… et découvre un piège avec le dernier !
Fais glisser le dessin pour tourner autour du solide.
Le dernier assemblage est fait de 6 carrés, et pourtant ce n’est pas un patron de cube : en le pliant, deux faces se retrouvent l’une sur l’autre et il reste un côté ouvert.
- Un même solide a plusieurs patrons différents. Le cube en a exactement 11.
- 6 carrés assemblés ne forment pas toujours un patron de cube.
- Dans le patron d’un cube, deux faces opposées du cube ne sont jamais côte à côte.
Choisis une face qui servira de fond. Repère les 4 faces collées autour d’elle (elles formeront les côtés), puis cherche la face du couvercle. Si deux faces doivent aller au même endroit, ou si une rangée contient 5 carrés alignés ou plus, ce n’est pas un patron.
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture
Pourquoi 5 carrés alignés ne peuvent pas faire un patron de cube ? Plie une bande de carrés autour du cube : le 1er carré fait le fond, le 2e un côté, le 3e le dessus, le 4e l’autre côté. Avec 4 carrés, la bande a déjà fait le tour complet du cube.
Le 5e carré retomberait donc exactement sur le 1er : deux faces se superposent, ce qui est interdit dans un patron. Une rangée de 5 carrés (ou plus) ne peut jamais convenir.
Le patron d’un pavé droit
Une boîte à chaussures fermée mesure 30 cm de long, 20 cm de large et 10 cm de haut. Son patron contient :
- 2 rectangles de 30 cm × 20 cm (le fond et le dessus) ;
- 2 rectangles de 30 cm × 10 cm (l’avant et l’arrière) ;
- 2 rectangles de 20 cm × 10 cm (les côtés).
Quand on assemble le patron, les côtés qui se collent l’un contre l’autre doivent avoir la même longueur. Par exemple, le bord de 20 cm d’un côté vient contre le bord de 20 cm du fond.
Aire totale de carton : cm², sans compter les languettes de collage.
Prisme droit et cylindre
- Le patron d’un prisme droit est formé de ses deux bases (deux polygones identiques, par exemple des triangles) et d’autant de rectangles que la base a de côtés.
- Le patron d’un cylindre est formé de deux disques identiques et d’un rectangle. La longueur de ce rectangle est égale au périmètre du disque, car il s’enroule tout autour.
Une boîte de conserve a un diamètre de 8 cm et une hauteur de 11 cm. Quelle est la taille de son étiquette ?
- L’étiquette est le rectangle du patron : sa largeur est la hauteur, 11 cm.
- Sa longueur est le périmètre du disque : cm.
L’étiquette mesure environ 25,1 cm sur 11 cm.
- Dans un patron, deux bords qui seront collés ensemble doivent avoir la même longueur.
- Le rectangle du patron d’un cylindre n’a pas pour longueur le diamètre, mais le périmètre du disque (environ 3,14 fois plus).
- Un patron se trace en vraie grandeur : les longueurs du patron sont celles du solide, pas celles de la vue en perspective.
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- L’emballage : chaque boîte en carton (pizza, céréales, chaussures) est découpée à plat dans une plaque, puis pliée. Un fabricant qui produit 10 000 boîtes de 2 200 cm² a besoin de 22 millions de cm², soit 2 200 m² de carton, et il cherche le patron qui gaspille le moins de chutes.
- La couture et la mode : un patron de couture est exactement l’idée d’un patron de solide : des pièces de tissu plates qui, une fois assemblées, épousent la forme du corps en 3D.
- Les jeux vidéo et l’animation 3D : pour peindre un personnage, les graphistes « déplient » sa surface en un patron 2D (on parle de dépliage UV), la peignent à plat, puis la replient sur le modèle 3D.
- Le bricolage et la papeterie : pour fabriquer un dé de jeu de 2 cm de côté, il suffit de tracer 6 carrés de 2 cm en croix et d’ajouter des languettes. Sur un dé, les faces opposées font toujours 7 (1 et 6, 2 et 5, 3 et 4) : le patron indique où placer chaque nombre.