5e 📏 Grandeurs et mesures Étape 10 / 19 du parcours

Volumes du cube, du pavé, du prisme et du cylindre

Calculer le volume d’un cube, d’un pavé droit, d’un prisme droit et d’un cylindre : comprendre V = aire de la base × hauteur avec des cubes unités.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les patrons de solides , Périmètre et aire du disque , Convertir des aires et des volumes

Volume = aire de la base × hauteur : on empile des couches.

Le fond d’un aquarium de 50 cm sur 30 cm accueille une couche de 50×30=1 500{50 \times 30 = 1\,500} cubes de 1 cm³.

Avec 40 cm de haut, cela fait 40 couches : 60 00060\,000 cm³, soit 60 litres d’eau.

4231 couche : 4 × 3 = 122 couches : 24 cubes

Qu’est-ce qu’un volume ?

Définition

Le volume d’un solide est la mesure de l’espace qu’il occupe.

On le mesure en comptant combien de cubes unités il contient. Un cube de 1 cm d’arête a un volume de 1 cm³ (« un centimètre cube »). De même, 1 m³ est le volume d’un cube de 1 m d’arête.

Pour les liquides, on utilise aussi les litres : 1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³.

Un peu d’histoire

On raconte que le roi Hiéron de Syracuse avait commandé une couronne en or, mais il soupçonnait l’orfèvre d’y avoir mélangé de l’argent. Il demanda au savant Archimède de vérifier, sans abîmer la couronne. En entrant dans son bain, Archimède vit l’eau monter et comprit : un objet plongé dans l’eau déplace un volume d’eau égal à son propre volume ! Il serait sorti dans la rue en criant « Eurêka ! » (« J’ai trouvé ! »). En comparant le volume de la couronne à celui d’un lingot d’or de même masse, il aurait démasqué la tricherie. Cette histoire a été racontée par l’architecte romain Vitruve, deux siècles plus tard : elle est peut-être enjolivée, mais la méthode, elle, fonctionne vraiment.

Remplir un pavé avec des cubes

Choisis la longueur, la largeur et la hauteur du pavé, puis clique sur Remplir. Observe comment les cubes se rangent : d’abord une rangée, puis une couche, puis les couches s’empilent.

Remplir le pavé avec des cubes de 1 cm³

Pour compter les cubes sans les compter un par un :

  • la première couche contient longueur × largeur cubes : c’est l’aire de la base ;
  • on empile autant de couches que la hauteur.
Volume du pavé droit et du cube

Pavé droit de longueur LL, largeur ℓ\ell et hauteur hh :

V=L×ℓ×hV = L \times \ell \times h

Cube d’arête aa :

V=a×a×a=a3V = a \times a \times a = a^3

Les trois longueurs doivent être exprimées dans la même unité.

L’aquarium

Un aquarium mesure 60 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut. Combien de litres d’eau contient-il, rempli à ras bord ?

  1. V=60×30×40=72 000V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 cm³.
  2. Or 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, donc V=72 000÷1 000=72V = 72\,000 \div 1\,000 = 72 L.

L’aquarium contient 72 litres d’eau.

Une seule formule pour les prismes et les cylindres

L’idée des couches marche pour tout solide « droit », dont toutes les tranches horizontales sont identiques à la base : une couche d’épaisseur 1 cm contient « aire de la base » cubes, et on empile hh couches.

Prisme droit et cylindre

Pour un prisme droit ou un cylindre :

V=aire de la base×hauteurV = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}

Pour un cylindre de rayon rr et de hauteur hh, la base est un disque d’aire π×r2\pi \times r^2, donc :

V=π×r2×hV = \pi \times r^2 \times h
Une tente en forme de prisme

Une tente canadienne est un prisme droit. Sa base est un triangle de base 2 m et de hauteur 1,5 m ; la tente est longue de 3 m.

  1. Aire de la base : 2×1,52=1,5\dfrac{2 \times 1{,}5}{2} = 1{,}5 m².
  2. Volume : V=1,5×3=4,5V = 1{,}5 \times 3 = 4{,}5 m³.

Attention : la « hauteur » du prisme est ici la longueur de la tente (3 m), c’est-à-dire la distance entre les deux bases triangulaires.

Une canette de soda

Une canette a un diamètre de 6,6 cm et une hauteur de 11,5 cm. Quel est son volume ?

  1. Rayon : 6,6÷2=3,36{,}6 \div 2 = 3{,}3 cm.
  2. Aire de la base : π×3,32≈34,2\pi \times 3{,}3^2 \approx 34{,}2 cm².
  3. Volume : V≈34,2×11,5≈393V \approx 34{,}2 \times 11{,}5 \approx 393 cm³, soit environ 39 cL.

La canette contient 33 cL de boisson : il reste un peu d’air, et le haut de la canette est rétréci.

Attention
  • Mets toutes les longueurs dans la même unité avant de multiplier : 2 m × 50 cm × 30 cm, c’est 200 × 50 × 30 en cm.
  • Pour un prisme, la « hauteur » est la distance entre les deux bases, même si le prisme est couché.
  • 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L, et pas 100 L : il faut 10 × 10 × 10 petits cubes de 1 dm pour remplir 1 m³.
  • Volume (cm³) et aire (cm²) ne se mélangent pas.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • La piscine : une piscine rectangulaire de 8 m sur 4 m, profonde de 1,5 m, contient 8×4×1,5=488 \times 4 \times 1{,}5 = 48 m³, soit 48 000 litres. Avec un tuyau qui débite 20 L par minute, il faut 2 400 minutes, c’est-à-dire 40 heures pour la remplir !
  • Le déménagement : un camion de déménagement de 20 m³ a une caisse de 4 m × 2 m × 2,5 m. Un carton standard de 50 cm × 40 cm × 40 cm occupe 0,08 m³ : le camion peut en contenir au plus 250.
  • La cuisine : un moule à gâteau cylindrique de 24 cm de diamètre, rempli sur 5 cm de hauteur, contient π×122×5≈2 262\pi \times 12^2 \times 5 \approx 2\,262 cm³, soit environ 2,3 L de pâte.
  • Le béton et le bricolage : pour couler une terrasse de 5 m × 4 m sur 12 cm d’épaisseur, il faut 5×4×0,12=2,45 \times 4 \times 0{,}12 = 2{,}4 m³ de béton. Comme 1 m³ de béton pèse environ 2,4 tonnes, cela fait près de 6 tonnes : mieux vaut commander un camion toupie que des sacs !

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Quel est le volume d’un cube de 4 cm d’arête (en cm³) ?

  2. Un pavé mesure 5 cm × 3 cm × 2 cm. Combien de cubes de 1 cm³ contient-il ?

  3. Une brique de jus a la forme d’un pavé de 10 cm × 6 cm × 16,5 cm. Quel est son volume en litres (arrondi au centième) ?

  4. Le volume d’un cylindre se calcule par :

  5. Un bac à sable mesure 2 m × 1,5 m et on veut 0,2 m de sable. Quel volume de sable faut-il (en m³) ?

  6. Combien de litres y a-t-il dans 1 m³ ?

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