4e 📏 Grandeurs et mesures Étape 11 / 19 du parcours

Vitesse, distance et temps

Vitesse moyenne, distance et durée : la formule d = v × t, les conversions de km/h en m/s et des exemples concrets en voiture, à vélo ou en train.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Proportionnalité et pourcentages

La vitesse, c’est la distance parcourue en une heure (ou en une seconde).

Un panneau annonce « Lyon 240 km » et tu roules à 120 km/h : chaque heure, tu avances de 120 km.

Tu arrives donc en 2 heures. Le GPS fait ce calcul en permanence… et toi aussi, bientôt !

Qu’est-ce qu’une vitesse ?

« 90 km/h » se lit « 90 kilomètres par heure » : si l’on garde cette vitesse pendant une heure, on parcourt 90 km. En deux heures, 180 km ; en une demi-heure, 45 km. La distance parcourue est proportionnelle au temps de trajet, et le coefficient de proportionnalité est la vitesse.

Définition

La vitesse moyenne $v$ d’un trajet est le quotient de la distance parcourue $d$ par la durée $t$ du trajet :

v = \dfrac{d}{t}

Elle s’exprime en km/h (kilomètres par heure), en m/s (mètres par seconde)…

Un peu d’histoire

Pendant très longtemps, on a cru que la lumière arrivait instantanément. En 1676, à l’Observatoire de Paris, l’astronome danois Ole Rømer observe Io, une lune de Jupiter, qui disparaît régulièrement derrière sa planète. Il remarque que ces éclipses arrivent en retard quand la Terre s’éloigne de Jupiter : la lumière met du temps pour parcourir la distance supplémentaire ! Il estime qu’elle met environ 22 minutes pour traverser l’orbite de la Terre (on sait aujourd’hui que c’est plutôt 17 minutes). Avec $v = \dfrac{d}{t}$ , on en a tiré la première estimation de la vitesse de la lumière : aujourd’hui, on sait qu’elle vaut environ 300 000 km par seconde.

On parle de vitesse moyenne car la vitesse réelle change sans cesse (feux rouges, bouchons, côtes). La vitesse moyenne, c’est la vitesse constante qui ferait le même trajet dans le même temps.

La course des deux voitures

Les deux voitures roulent à vitesse constante. Règle leurs vitesses puis appuie sur ▶ Départ, ou déplace le curseur du temps. En dessous, chaque voiture trace son graphique distance-temps.

Observe : chaque graphique est une droite qui passe par l’origine, c’est le signe d’une situation de proportionnalité. Plus la voiture va vite, plus sa droite est pentue.

Les trois formules

Une formule, trois façons de l’écrire

d = v \times t \qquad v = \dfrac{d}{t} \qquad t = \dfrac{d}{v}

Les unités doivent être cohérentes : si $v$ est en km/h, alors $d$ est en km et $t$ en heures.

Exemple : calculer une distance

Un TGV roule à 300 km/h pendant 1 h 30 min. Quelle distance parcourt-il ?

On convertit la durée en heures : $1\text{ h }30\text{ min} = 1{,}5$ h.
$d = v \times t = 300 \times 1{,}5 = 450$ km.

Exemple : calculer un temps de trajet

Retour sur l’autoroute : il reste 240 km à 120 km/h.

$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{240}{120} = 2$ h.
Si tu ne roulais qu’à 80 km/h : $t = \dfrac{240}{80} = 3$ h. Une heure de plus !

Exemple : calculer une vitesse moyenne

Léa fait 18 km à vélo en 45 min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

$45 \text{ min} = \dfrac{45}{60} \text{ h} = 0{,}75$ h.
$v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{18}{0{,}75} = 24$ km/h.

Les conversions de durées

C’est là que se cachent la plupart des erreurs. Une heure compte 60 minutes, pas 100 !

Durée	6 min	15 min	20 min	30 min	45 min	1 h 12 min
En heures	0,1 h	0,25 h	$\frac{1}{3}$ h	0,5 h	0,75 h	1,2 h

Passer des km/h aux m/s

1 km/h, c’est 1 000 m en 3 600 s. Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6 ; pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6.

Par exemple, $90 \text{ km/h} = 90 \div 3{,}6 = 25$ m/s : à 90 km/h, une voiture parcourt 25 mètres chaque seconde !

Les pièges classiques

1 h 30 min ne s’écrit pas 1,30 h mais 1,5 h.
Ne mélange pas les unités : une vitesse en km/h avec un temps en minutes donne un résultat faux.
La vitesse moyenne d’un aller-retour n’est pas la moyenne des deux vitesses. Aller à 60 km/h et revenir à 40 km/h sur 120 km : 2 h + 3 h = 5 h pour 240 km, soit 48 km/h, pas 50.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Quelle est la vraie vitesse moyenne d’un aller-retour ? Notons $d$ la distance d’un trajet, $v_1$ la vitesse à l’aller et $v_2$ au retour. La durée totale est $t = \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}$ , et la distance totale $2d$ . Donc :

v = \frac{2d}{\dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}} = \frac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}} = \frac{2\,v_1 v_2}{v_1 + v_2}

La distance $d$ a disparu : le résultat ne dépend que des vitesses. Avec 60 et 40 km/h : $\dfrac{2 \times 60 \times 40}{100} = 48$ km/h. On passe plus de temps à la vitesse la plus lente, c’est pourquoi elle « pèse » davantage.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

La sécurité routière : à 50 km/h, une voiture parcourt environ 14 m chaque seconde. Avec une seconde de temps de réaction, elle avance donc de 14 m avant même que le conducteur ne freine.
Le sport : le record du monde du 100 m, 9,58 s, correspond à une vitesse moyenne de $100 \div 9{,}58 \approx 10{,}4$ m/s, soit environ 37,6 km/h.
Les voyages : un avion Paris–New York parcourt environ 5 800 km en 8 h. Sa vitesse moyenne est d’environ 725 km/h.
La météo : un orage se déplace à 40 km/h et se trouve à 30 km de chez toi. Il arrivera dans $30 \div 40 = 0{,}75$ h, soit 45 minutes.
Les sciences : la lumière va à environ 300 000 km/s. Elle met $150\,000\,000 \div 300\,000 = 500$ s, un peu plus de 8 minutes, pour venir du Soleil jusqu’à la Terre.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Une voiture roule à 70 km/h pendant 3 h. Quelle distance parcourt-elle (en km) ?
Un cycliste parcourt 45 km en 1 h 30 min. Quelle est sa vitesse moyenne (en km/h) ?
Comment s’écrit 1 h 15 min en heures ?
Un train doit parcourir 360 km à 240 km/h. Combien de temps dure le trajet (en heures) ?
Combien vaut 72 km/h en m/s ?
Sur le graphique distance-temps de deux voitures, la droite la plus pentue correspond :