3e 📏 Grandeurs et mesures Étape 12 / 19 du parcours

Volume de la pyramide, du cône et de la boule

Volume d’une pyramide, d’un cône et d’une boule : pourquoi on divise par 3, la formule 4/3 πr³, et des exemples concrets pas à pas.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Volumes du cube, du pavé, du prisme et du cylindre , Les puissances

Un cône (ou une pyramide) vaut un tiers du cylindre (ou prisme) qui l’entoure.

Cornet de glace, pyramide d’Égypte, ballon de basket : impossible de les remplir par couches identiques comme un pavé.

Leur secret, c’est le nombre 3 : il faut 3 cônes d’eau pour remplir le cylindre qui l’entoure. Cylindre de 30 cL ? Le cône contient 10 cL.

1/33 cônes = 1 cylindre

Rappel : les solides « droits »

Pour un prisme droit ou un cylindre, toutes les tranches sont identiques à la base, donc :

V=aire de la base×hauteurV = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}

Une pyramide ou un cône, eux, ont des tranches qui rétrécissent jusqu’à la pointe. Leur volume est donc plus petit que celui du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur. Mais combien de fois plus petit ?

L’expérience du remplissage

On remplit d’eau une pyramide, puis on la verse dans un prisme droit qui a la même base et la même hauteur. Clique sur Verser autant de fois que nécessaire. Essaie ensuite avec un cône et un cylindre.

Combien de pyramides pour remplir le prisme ?

Il faut exactement 3 pyramides pleines pour remplir le prisme, et 3 cônes pour remplir le cylindre. La pyramide occupe donc le tiers du prisme.

Volume d’une pyramide et d’un cône

Pour une pyramide ou un cône de hauteur hh dont la base a pour aire B\mathcal{B} :

V=13×B×h=B×h3V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \frac{\mathcal{B} \times h}{3}

Pour un cône de révolution de rayon rr, la base est un disque : V=13×π×r2×hV = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h.

Attention

La hauteur d’une pyramide ou d’un cône est la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement à la base. Ce n’est pas la longueur d’une arête latérale, ni la « pente » du cône (la génératrice), qui sont plus longues.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Un cube coupé en 3 pyramides identiques. Prends un cube d’arête aa et choisis l’un de ses sommets, SS. Les 6 faces du cube : 3 touchent SS, et 3 ne le touchent pas.

Relie SS à chacune des 3 faces qui ne le touchent pas : tu obtiens 3 pyramides qui remplissent tout le cube sans se chevaucher. Chacune a pour base un carré d’aire a2a^2 et pour hauteur aa (la distance de SS à cette face), et elles sont superposables. Donc chacune a pour volume

a33=13×a2×a=13×B×h\frac{a^3}{3} = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h

C’est la formule de la leçon dans un cas particulier ; le cas général se démontre au lycée.

La pyramide du Louvre

La pyramide du Louvre a une base carrée de 35 m de côté et une hauteur de 21,6 m. Quel est son volume ?

  1. Aire de la base : B=35×35=1 225\mathcal{B} = 35 \times 35 = 1\,225 m².
  2. V=1 225×21,63=26 4603=8 820V = \dfrac{1\,225 \times 21{,}6}{3} = \dfrac{26\,460}{3} = 8\,820 m³.

La pyramide renferme environ 8 800 m³ d’air : autant que 3,5 piscines olympiques (une piscine olympique contient environ 2 500 m³).

Un peu d’histoire

Les Égyptiens savaient déjà calculer des volumes de pyramides. Le papyrus de Moscou, écrit vers 1850 av. J.-C., contient un problème où le scribe calcule correctement le volume d’une pyramide dont on a coupé la pointe. Chez les Grecs, Archimède raconte que Démocrite fut le premier à affirmer que la pyramide occupe le tiers du prisme, vers 400 av. J.-C., mais sans le démontrer. C’est Eudoxe de Cnide, quelques décennies plus tard, qui en donna la première preuve rigoureuse, avec une méthode qui annonçait déjà le calcul intégral.

Le cornet de glace

Un cornet a la forme d’un cône de 3 cm de rayon et de 12 cm de hauteur. Combien de glace peut-il contenir, à ras bord ?

  1. Aire de la base : π×32=9π\pi \times 3^2 = 9\pi cm².
  2. V=9π×123=36π≈113V = \dfrac{9\pi \times 12}{3} = 36\pi \approx 113 cm³.

Le cornet contient environ 113 cm³, soit 11 cL. La boule de glace posée dessus en ajoute encore !

Le volume de la boule

Définition

La sphère de centre OO et de rayon rr est la surface formée par tous les points situés à la distance rr de OO (la « peau »). La boule est le solide délimité par cette sphère (la peau et tout l’intérieur).

Aire de la sphère et volume de la boule

Pour une sphère ou une boule de rayon rr :

Aspheˋre=4×π×r2Vboule=43×π×r3\mathcal{A}_{\text{sphère}} = 4 \times \pi \times r^2 \qquad V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3
Le secret d’Archimède

Archimède, il y a plus de 2 200 ans, a découvert qu’une boule occupe exactement les deux tiers du cylindre dans lequel elle tient juste (rayon rr, hauteur 2r2r) : 23×πr2×2r=43πr3\dfrac{2}{3} \times \pi r^2 \times 2r = \dfrac{4}{3}\pi r^3. Il était si fier de cette découverte qu’il l’a fait graver sur sa tombe.

Le ballon de basket

Un ballon de basket a un diamètre de 24 cm. Quel volume d’air contient-il ?

  1. Rayon : r=12r = 12 cm.
  2. V=43×π×123=43×π×1 728=2 304π≈7 238V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 12^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 1\,728 = 2\,304\pi \approx 7\,238 cm³.

Le ballon contient environ 7,2 L d’air.

Attention
  • Ne pas oublier de diviser par 3 pour la pyramide et le cône : c’est l’erreur la plus fréquente.
  • Dans la formule de la boule, c’est r3r^3 (le rayon au cube), pas r2r^2. Et on utilise le rayon, pas le diamètre.
  • Volume en unités cubes (cm³, m³), aire de la sphère en unités carrées (cm², m²).

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Les travaux publics : un tas de sable conique de 3 m de rayon et 2 m de haut contient 13×π×9×2≈18,8\dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 2 \approx 18{,}8 m³ de sable. Le chef de chantier sait ainsi qu’il faut environ 2 camions de 10 m³ pour l’évacuer.
  • La météo et l’aéronautique : un ballon-sonde météo gonflé à 1 m de rayon contient 43π×13≈4,2\dfrac{4}{3}\pi \times 1^3 \approx 4{,}2 m³ d’hélium. En altitude, il gonfle jusqu’à 4 m de rayon : son volume est alors multiplié par 43=644^3 = 64 !
  • La cuisine : une boule de glace de 3 cm de rayon a un volume de 43π×27≈113\dfrac{4}{3}\pi \times 27 \approx 113 cm³. Avec un bac de 2 L (2 000 cm³), on sert environ 17 boules.
  • L’industrie agricole : un silo à grains est souvent un cylindre surmonté d’un cône. Pour un silo de 4 m de rayon, avec 10 m de cylindre et un toit conique de 3 m, le volume vaut π×16×10+13π×16×3≈553\pi \times 16 \times 10 + \dfrac{1}{3}\pi \times 16 \times 3 \approx 553 m³.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Une pyramide et un prisme ont la même base et la même hauteur. Le volume de la pyramide est :

  2. Une pyramide a une base d’aire 30 cm² et une hauteur de 8 cm. Quel est son volume (en cm³) ?

  3. Un entonnoir conique a un rayon de 5 cm et une hauteur de 9 cm. Quel est son volume (arrondi à l’unité, en cm³) ?

  4. Quelle est la formule du volume d’une boule de rayon r ?

  5. Une bille a un rayon de 1 cm. Quel est son volume (arrondi au dixième, en cm³) ?

  6. Une balle de tennis a un diamètre de 6,6 cm. Quel est son volume (arrondi à l’unité, en cm³) ?

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