Sections de solides par un plan
Sections de solides : couper un pavé, un cylindre, une pyramide ou une sphère par un plan. Nature de la section et calcul de ses dimensions.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les solides , Les patrons de solides , Volumes du cube, du pavé, du prisme et du cylindre , Le théorème de Pythagore
Couper un solide par un plan fait apparaître une figure plane : la section.
Coupe un concombre en rondelles : chaque face coupée est un disque. Coupe-le dans la longueur : un long rectangle.
Sans le savoir, tu fais de la géométrie dans l’espace à chaque repas !
Qu’est-ce qu’une section ?
Quand on coupe un solide par un plan (une « tranche » parfaitement plate et infinie), la surface obtenue sur la coupe est la section du solide par ce plan.
La forme de la section dépend de deux choses : le solide et la direction du plan. Dans le widget, choisis un solide, choisis une direction de coupe, puis fais glisser le plan avec le curseur. Fais aussi tourner le solide pour bien voir la section orange.
Tu peux aussi faire pivoter le solide en le glissant du doigt ou de la souris.
Le pavé droit et le cylindre : on retrouve la base
- La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
- La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle (dont un côté a la longueur de cette arête).
- La section par un plan parallèle à la base est un disque de même rayon que la base.
- La section par un plan parallèle à l’axe est un rectangle, dont un côté est la hauteur du cylindre.
La pyramide et le cône : une réduction de la base
Coupe une pyramide parallèlement à sa base : la section a la même forme que la base, mais en plus petit. Plus on monte vers le sommet, plus elle rétrécit.
La section d’une pyramide (ou d’un cône) par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. Le coefficient de réduction est :
Un presse-papier en verre est une pyramide à base carrée de 6 cm de côté et de 9 cm de hauteur. On le coupe parallèlement à la base, à 3 cm du sommet. Quelle est l’aire de la section ?
- Coefficient de réduction : .
- La section est un carré de côté cm.
- Aire : cm². Remarque : l’aire de la base (36 cm²) a été multipliée par .
La sphère : toujours un cercle
C’est la championne de la régularité : quel que soit le plan qui la coupe, la section d’une sphère est un cercle (et celle d’une boule, un disque). Ce qui change, c’est seulement sa taille.
Soit une sphère de centre et de rayon , coupée par un plan situé à une distance du centre (avec ). La section est un cercle de rayon tel que :
Si le plan passe par le centre (), on obtient un grand cercle de rayon . Si , le plan ne fait que toucher la sphère en un point.
D’où vient la formule r² = R² − d² ?— facultatif, à sauter en première lecture
Appelons le centre du cercle de section et un point de ce cercle. Le segment est perpendiculaire au plan de coupe : il mesure . Le point est sur la sphère, donc . Et , le rayon cherché.
Le triangle est rectangle en . Le théorème de Pythagore donne :
d’où . C’est le segment violet du widget, quand tu choisis la sphère !
Un melon presque sphérique a un rayon de 8 cm. On coupe une calotte pour le servir, à 6 cm du centre. Quel est le rayon du disque de chair visible ?
, donc cm.
- Une section n’est pas un patron ni une vue de face : c’est la forme de la coupe, en vraie grandeur.
- Pour un pavé, un plan quelconque (ni parallèle à une face, ni à une arête) peut donner un triangle, un pentagone ou même un hexagone ! Au collège, on se limite aux plans parallèles à une face ou à une arête.
Vers 200 av. J.-C., le géomètre grec Apollonius de Perge a consacré huit livres entiers aux sections d’un seul solide : le cône ! En inclinant le plan de coupe, il obtenait des cercles, des ellipses, des paraboles et des hyperboles, et c’est lui qui leur a donné ces noms. Pendant près de 2 000 ans, ces courbes ont semblé être de jolies curiosités… jusqu’à ce que Kepler découvre, au début du XVIIe siècle, que les planètes tournent autour du Soleil en suivant des ellipses. Une coupe de cône dans le ciel !
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- En médecine : un scanner ou une IRM « coupe » le corps en tranches virtuelles de quelques millimètres. Le médecin voit des centaines de sections pour repérer, par exemple, une tumeur de 5 mm.
- En cuisine : un cake en forme de pavé de 25 cm × 10 cm × 8 cm, coupé en tranches parallèles à une face, donne des rectangles de 10 cm × 8 cm, tous identiques. Un saucisson coupé en biais donne des ovales (des ellipses) plus grands que des rondelles droites.
- En géographie : sur Terre, les parallèles sont des sections de la sphère par des plans parallèles à l’équateur. À la latitude de Paris, le plan est à environ 4 800 km du centre, et le cercle a un rayon d’environ 4 200 km au lieu de 6 371 km.
- En menuiserie : un tronc d’arbre (presque un cylindre) scié dans la longueur donne des planches rectangulaires. Dans un tronc de 50 cm de diamètre, une planche coupée à 15 cm de l’axe a une largeur de cm.
- En architecture : les plans d’étage d’un bâtiment sont des sections horizontales. Pour une tour en forme de pyramide (comme celle du Louvre, 21,6 m de haut pour 35,4 m de côté), la section à mi-hauteur est un carré de 17,7 m de côté.