4e 📐 Géométrie Étape 17 / 27 du parcours

Le théorème de Pythagore

Comprendre le théorème de Pythagore avec les carrés construits sur les côtés d’un triangle rectangle, puis calculer une longueur pas à pas.

Dans un triangle rectangle, a² + b² = c², où c est le plus grand côté.

Un triangle a un angle droit entre deux côtés de 3 cm et 4 cm. Alors $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ : le grand côté mesure 5 cm.

Remarquée il y a plus de 2 500 ans, cette propriété permet de calculer un côté quand on connaît les deux autres.

Le vocabulaire du triangle rectangle

Définition

Un triangle rectangle a un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est toujours le plus long des trois côtés.

L’idée en image

Construisons un carré sur chacun des trois côtés. Avec des côtés de 3 et 4, le carré bleu contient 9 petits carreaux, le vert en contient 16… et le grand carré orange en contient exactement 25 = 9 + 16 !

Change les longueurs : quelle que soit la forme du triangle rectangle, l’aire du grand carré est toujours égale à la somme des deux autres.

Le théorème

Théorème de Pythagore

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :

BC^2 = AB^2 + AC^2

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Voici une démonstration « à découper » très ancienne. Prends 4 copies du triangle rectangle (côtés de l’angle droit $a$ et $b$ , hypoténuse $c$ ) et un grand carré de côté $a + b$ .

Premier rangement : place les 4 triangles dans les coins du grand carré, hypoténuses vers l’intérieur. Il reste au milieu un carré penché de côté $c$ , d’aire $c^2$ .
Second rangement : regroupe les triangles deux par deux pour former deux rectangles $a \times b$ , placés dans deux coins opposés. Il reste deux carrés vides : l’un de côté $a$ , l’autre de côté $b$ , d’aire totale $a^2 + b^2$ .

Dans les deux cas, on a enlevé du même grand carré les mêmes 4 triangles : les surfaces qui restent sont égales. Donc $c^2 = a^2 + b^2$ .

Calculer l’hypoténuse

Exemple

$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calculons $BC$ .

L’hypoténuse est $[BC]$ (en face de l’angle droit en $A$ ).
D’après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$BC = \sqrt{100} = 10$ cm.

Calculer un côté de l’angle droit

L’échelle contre le mur

Une échelle de 6,5 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé à 2,5 m du mur. À quelle hauteur arrive le haut de l’échelle ?

On nomme $E$ le pied du mur, $F$ le pied de l’échelle et $G$ son sommet. Le mur est perpendiculaire au sol : $EFG$ est rectangle en $E$ , avec $FG = 6{,}5$ m (l’échelle, l’hypoténuse) et $EF = 2{,}5$ m.

$FG^2 = EF^2 + EG^2$ , donc $EG^2 = FG^2 - EF^2$
$EG^2 = 6{,}5^2 - 2{,}5^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36$
$EG = \sqrt{36} = 6$ m : l’échelle atteint 6 m de haut.

Attention

Le théorème ne marche que pour les triangles rectangles. Et l’hypoténuse est toujours seule d’un côté du signe égal : on ne fait jamais « $AB^2 = BC^2 + AC^2$ » si $[BC]$ est l’hypoténuse.

Triplets à connaître

Certains triangles rectangles ont des côtés entiers : 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10, 8-15-17. Ils reviennent très souvent dans les exercices !

Un peu d’histoire

Le théorème porte le nom de Pythagore, un savant grec du VIe siècle av. J.-C., mais il était connu bien avant lui ! Une tablette d’argile babylonienne, appelée Plimpton 322 et écrite vers 1800 av. J.-C., contient une liste de triplets, dont certains énormes comme 4 601, 4 800 et 6 649 (vérifie : $4\,601^2 + 4\,800^2 = 6\,649^2$ ). On ne sait même pas si Pythagore l’a démontré lui-même : la plus ancienne démonstration qui nous soit parvenue est celle d’Euclide, vers 300 av. J.-C. Depuis, on en a trouvé des centaines, dont une publiée en 1876 par James Garfield, qui allait devenir président des États-Unis !

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En maçonnerie : pour vérifier qu’un mur est bien d’équerre, le maçon mesure 3 m sur un côté, 4 m sur l’autre : si la diagonale fait exactement 5 m, l’angle est droit (c’est la « règle du 3-4-5 »).
Pour acheter une télévision : une TV « 55 pouces » mesure 55 pouces (environ 140 cm) en diagonale, pas en largeur. Avec une largeur de 121 cm et une hauteur de 68 cm, on retrouve $\sqrt{121^2 + 68^2} \approx 139$ cm.
Chez les pompiers : pour atteindre une fenêtre à 12 m de haut avec le camion garé à 5 m du mur, il faut déployer une grande échelle d’au moins $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ m.
Dans les jeux vidéo : pour savoir si un ennemi est à portée, le jeu calcule la distance entre deux points à l’écran. Un ennemi décalé de 30 pixels à droite et 40 pixels vers le haut est à $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ pixels.
En randonnée : traverser un champ rectangulaire de 80 m sur 60 m en diagonale fait 100 m, au lieu de 140 m en longeant les bords.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Dans un triangle rectangle, comment s’appelle le côté opposé à l’angle droit ?
Un triangle est rectangle ; ses côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm. Combien mesure l’hypoténuse (en cm) ?
ABC est rectangle en A. Quelle égalité est juste ?
Une échelle de 10 m est posée contre un mur vertical, son pied à 6 m du mur. À quelle hauteur (en m) touche-t-elle le mur ?
Les côtés de l’angle droit mesurent 1 et 2. L’hypoténuse vaut environ (arrondi au dixième) :
L’écran d’une télévision mesure 80 cm de large et 60 cm de haut. Combien mesure sa diagonale (en cm) ?