La somme des angles d’un polygone
Somme des angles d’un polygone : (n − 2) × 180°. Découpe en triangles, angles des polygones réguliers et angles extérieurs, avec des exemples.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : La somme des angles d’un triangle , Les polygones
Découpe le polygone en triangles : chacun apporte 180° à la somme des angles.
Un pentagone se découpe en 3 triangles depuis un sommet : ses angles font .
Et le panneau STOP, à 8 côtés ? 6 triangles, soit 1 080°. Rien de nouveau à apprendre : il suffit de recycler ce que tu sais sur les triangles.
L’idée : découper en triangles
Prends un polygone convexe (sans « creux ») à côtés. Choisis un sommet, par exemple , et trace toutes les diagonales qui en partent. Le polygone se retrouve découpé en triangles, et les angles de ces triangles reconstituent exactement les angles du polygone.
Change le nombre de côtés, puis appuie sur « Découper ». Compte les triangles. Essaie « Déformer » : la forme change, la somme ne bouge pas d’un poil !
Tu remarques le schéma ? Un quadrilatère donne 2 triangles, un pentagone 3, un hexagone 4… Il y a toujours deux triangles de moins que de côtés.
La somme des angles intérieurs d’un polygone convexe à côtés vaut :
| Polygone | Triangles | Somme des angles | |
|---|---|---|---|
| Triangle | 3 | 1 | 180° |
| Quadrilatère | 4 | 2 | 360° |
| Pentagone | 5 | 3 | 540° |
| Hexagone | 6 | 4 | 720° |
| Octogone | 8 | 6 | 1 080° |
Pourquoi exactement n − 2 triangles ?— facultatif, à sauter en première lecture
Depuis le sommet , on ne peut pas tracer de diagonale vers lui-même, ni vers ses deux voisins (ce seraient des côtés). Il reste diagonales, qui découpent le polygone en triangles.
Chaque angle de ces triangles est une partie d’un angle du polygone, et chaque angle du polygone est entièrement recouvert, sans recouvrement. Donc la somme des angles du polygone est égale à la somme des angles des triangles, soit .
Autre façon de voir, avec un point au centre : on relie un point intérieur aux sommets, ce qui donne triangles, soit . Mais on a compté en trop le tour complet autour du centre (360°, soit ). Résultat : . Deux chemins, même arrivée !
Les polygones réguliers
Un polygone régulier a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Pour connaître un angle, on partage simplement la somme :
Le panneau STOP est un octogone régulier. Quelle est la mesure de chacun de ses angles ?
- , donc la somme vaut .
- Les 8 angles sont égaux : .
Chaque coin du panneau mesure 135°.
Un menuisier construit un kiosque de jardin en forme d’hexagone régulier, avec 6 poutres posées au sol. Quel angle doit-il y avoir entre deux poutres voisines ?
, puis . Deux poutres voisines forment un angle de 120°.
Le petit frère : les angles extérieurs
Marche autour d’un polygone en longeant ses côtés. À chaque sommet, tu tournes d’un certain angle : c’est l’angle extérieur, le supplémentaire de l’angle intérieur. Quand tu reviens à ton point de départ, tu as fait exactement un tour sur toi-même.
La somme des angles extérieurs d’un polygone convexe vaut toujours 360°, quel que soit le nombre de côtés. Pour un polygone régulier à côtés, chaque angle extérieur vaut .
C’est souvent le chemin le plus rapide ! Pour l’octogone : d’angle extérieur, donc l’angle intérieur vaut . On retrouve le résultat du STOP.
- Ne pas confondre et : un carré a 4 angles droits, soit 360°, et pas 720°.
- La formule « un angle » ne marche que pour un polygone régulier. Un rectangle et un trapèze ont tous deux une somme de 360°, mais leurs angles sont très différents.
Vers l’an 300, Pappus d’Alexandrie, l’un des derniers grands géomètres grecs, s’est émerveillé devant les alvéoles des ruches. Pourquoi des hexagones ? Il remarque que seuls trois polygones réguliers peuvent se coller sans laisser de trou : le triangle, le carré et l’hexagone. Et parmi eux, à périmètre égal, l’hexagone enferme la plus grande surface : moins de cire pour plus de miel ! Il parlait même de la « prévoyance géométrique » des abeilles. Il a fallu attendre 1999 pour que le mathématicien Thomas Hales démontre complètement cette « conjecture du nid d’abeille ».
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- Sur la route : chaque coin d’un panneau STOP octogonal mesure 135°. Les fabricants découpent les plaques de métal avec ces angles précis pour que tous les panneaux soient identiques.
- Chez les abeilles : chaque angle d’une alvéole hexagonale mesure 120°. Trois alvéoles se rejoignent en un point, car : aucun espace perdu.
- Au foot : un ballon classique est cousu avec 12 pentagones et 20 hexagones. Autour d’un sommet, un pentagone et deux hexagones donnent , un peu moins de 360° : c’est ce « manque » qui permet au ballon de s’arrondir.
- En programmation : pour faire dessiner un hexagone à un lutin dans Scratch, on répète 6 fois « avancer, tourner de 60° », car . Pour un pentagone, on tourne de 72°.
- En menuiserie : pour une table octogonale faite de 8 planches, chaque angle intérieur vaut 135°, donc on coupe chaque extrémité de planche à (soit 22,5° sur la scie à onglet).