5e 📐 Géométrie Étape 10 / 27 du parcours

La somme des angles d’un triangle

La somme des angles d’un triangle vaut toujours 180° : la découvrir en découpant les coins, puis calculer un angle manquant pas à pas.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les angles , L’inégalité triangulaire

Dans tout triangle, les trois angles font toujours 180° ensemble.

Découpe les trois coins d’un triangle en papier et colle-les côte à côte : ils forment une ligne droite, soit 180°. Grand ou petit, pointu ou écrasé, ça marche toujours !

Deux angles mesurent 50° et 70° ? Le troisième vaut 180 − 50 − 70 = 60°.

L’expérience des coins découpés

Un triangle a trois angles. Chacun peut être grand ou petit, mais ils ne sont pas indépendants les uns des autres : quand l’un grandit, les autres doivent rétrécir.

Déplace les sommets $A$ , $B$ et $C$ pour changer la forme du triangle, puis clique sur Découper et recoller. Observe où viennent se placer les trois coins.

Les trois angles recollés forment un angle plat, c’est-à-dire un demi-tour : 180°.

Somme des angles d’un triangle

Dans n’importe quel triangle $ABC$ , la somme des mesures des trois angles est égale à 180° :

\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ

Pourquoi est-ce toujours vrai ?

Trace la parallèle à $(BC)$ passant par $A$ . Les angles $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ se retrouvent « recopiés » en $A$ (ce sont des angles alternes-internes). Avec $\widehat{A}$ au milieu, les trois angles remplissent l’angle plat de la droite. Tu le démontreras dans la leçon sur les angles et les parallèles.

Un peu d’histoire

Cette propriété est très ancienne : vers 300 av. J.-C., Euclide la démontre dans ses Éléments (c’est la 32e proposition du premier livre), en utilisant justement une parallèle. Un auteur grec plus tardif, Proclus, en attribue la découverte aux disciples de Pythagore. Mais attention : elle n’est vraie que sur une surface plane ! Sur un globe terrestre, trace un triangle avec le pôle Nord et deux points de l’équateur : tu peux obtenir trois angles droits, soit 270°. Au XIXe siècle, des mathématiciens comme Gauss, Lobatchevski et Riemann ont étudié ces géométries « non euclidiennes », qu’Einstein utilisera plus tard pour décrire l’Univers.

Calculer un angle manquant

Si tu connais deux angles d’un triangle, tu peux toujours calculer le troisième : il suffit d’enlever les deux angles connus à 180°.

Le toit d’une cabane

Le pignon d’une cabane de jardin a la forme d’un triangle. Les deux pentes du toit font des angles de 35° et 35° avec le plancher du grenier. Quel est l’angle au sommet du toit ?

Somme des angles : $35 + 35 + \widehat{S} = 180$ .
$70 + \widehat{S} = 180$ , donc $\widehat{S} = 180 - 70 = 110^\circ$ .

L’angle au sommet du toit mesure 110°.

Un triangle rectangle

$DEF$ est rectangle en $E$ et $\widehat{D} = 52^\circ$ . Calculons $\widehat{F}$ .

L’angle droit mesure 90°, donc $52 + 90 + \widehat{F} = 180$ .
$\widehat{F} = 180 - 142 = 38^\circ$ .

Remarque : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont une somme de 90° ( $52 + 38 = 90$ ).

Les triangles particuliers

À connaître

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90°.
Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux.
Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux : chacun mesure $180 \div 3 = 60^\circ$ .

Un panneau « cédez le passage »

Le panneau « cédez le passage » est un triangle équilatéral : chacun de ses angles mesure 60°.

Une rampe d’accès forme un triangle isocèle dont l’angle principal mesure 130°. Les deux angles à la base sont égaux, donc chacun mesure $(180 - 130) \div 2 = 50 \div 2 = 25^\circ$ .

Un triangle est-il possible ?

La propriété sert aussi à repérer des triangles impossibles : si les trois angles donnés n’ont pas une somme de 180°, le triangle n’existe pas.

Vérifier un énoncé

Peut-on tracer un triangle avec des angles de 70°, 60° et 40° ? $70 + 60 + 40 = 170 \neq 180$ : non.

Et un triangle avec deux angles droits ? $90 + 90 = 180$ : il ne resterait rien pour le troisième angle. Impossible !

Attention

La propriété concerne les angles, pas les longueurs : les côtés peuvent mesurer n’importe quoi.
Un triangle a au plus un angle droit ou obtus. Si tu trouves deux angles obtus, il y a une erreur.
Sur un dessin, n’utilise pas le rapporteur pour « deviner » un angle : calcule-le avec les angles connus.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

La charpente : pour fabriquer une ferme de toit symétrique avec un angle au faîtage de 100°, le charpentier coupe les deux poutres avec un angle de $(180 - 100) \div 2 = 40^\circ$ à la base.
Le billard et le sport : au billard, la bande, la trajectoire aller et la trajectoire retour forment des triangles. Connaître deux angles permet de viser la bonne bande sans tâtonner.
La navigation : un bateau voit un phare sous un angle de 50° avec sa route, puis, plus loin, sous un angle de 110°. Dans le triangle bateau–bateau–phare, l’angle au phare vaut $110 - 50 = 60^\circ$ (l’angle extérieur de 110° vaut la somme des deux angles intérieurs opposés). Les marins s’en servent pour calculer leur distance au phare.
Les jeux vidéo et la 3D : tous les objets 3D sont découpés en milliers de petits triangles. Les logiciels utilisent la somme de 180° pour vérifier qu’un triangle n’est pas « aplati », ce qui provoquerait des bugs d’affichage.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Dans un triangle, deux angles mesurent 45° et 75°. Combien mesure le troisième (en degrés) ?
Un triangle ABC est rectangle en A et l’angle B mesure 28°. Combien mesure l’angle C (en degrés) ?
Combien mesure chaque angle d’un triangle équilatéral ?
Le toit d’un chalet est un triangle isocèle dont l’angle au sommet mesure 70°. Combien mesure chaque angle à la base (en degrés) ?
Peut-on tracer un triangle dont les angles mesurent 100°, 50° et 40° ?
Une échelle posée contre un mur vertical fait un angle de 72° avec le sol horizontal. Quel angle fait-elle avec le mur (en degrés) ?