Angles complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet
Angles complémentaires (90°), supplémentaires (180°), adjacents et opposés par le sommet : définitions, propriétés et calculs pas à pas.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les angles , Droites parallèles et perpendiculaires
Complémentaires : 90° à deux. Supplémentaires : 180°. Opposés par le sommet : égaux.
Ouvre une paire de ciseaux : les deux lames forment un « X ».
Si un angle mesure 40°, son voisin mesure 180 − 40 = 140°. Et celui d’en face ? 40° aussi ! Ces règles vont te faire gagner un temps fou.
Angles adjacents : voisins, mais pas trop
Deux angles sont adjacents quand ils ont :
- le même sommet ;
- un côté commun ;
- et qu’ils sont de part et d’autre de ce côté commun (ils ne se chevauchent pas).
Imagine deux parts de tarte posées côte à côte : même pointe au centre, un bord en commun, aucune ne déborde sur l’autre. Elles sont adjacentes.
Complémentaires et supplémentaires : une histoire de somme
- Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90° (un angle droit).
- Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180° (un angle plat).
Par exemple, 35° et 55° sont complémentaires (), tandis que 35° et 145° sont supplémentaires (). Attention : ces mots parlent seulement de la somme. Deux angles complémentaires peuvent être à deux endroits différents de la figure, ils n’ont pas besoin d’être voisins.
Dans l’ordre alphabétique, Complémentaire vient avant Supplémentaire… et 90 vient avant 180. Autre moyen : « Supplémentaire » commence comme « Super », et c’est le plus grand des deux !
Opposés par le sommet : le « X » magique
Quand deux droites se coupent, elles forment quatre angles. Ceux qui sont face à face, de part et d’autre du point d’intersection, sont opposés par le sommet.
Dans le widget, change l’ouverture et fais tourner la figure. Regarde les angles ① et ③ : ils gardent toujours la même mesure. Puis appuie sur « Demi-tour » pour voir pourquoi. Les boutons du haut montrent aussi des angles complémentaires et supplémentaires.
- Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
- Quand deux droites se coupent, deux angles adjacents formés par ces droites sont supplémentaires : ils font 180° à eux deux.
- Donc il suffit de connaître un seul des quatre angles pour connaître les quatre !
Pourquoi deux angles opposés par le sommet sont-ils égaux ?— facultatif, à sauter en première lecture
Appelons ①, ②, ③ les angles consécutifs formés par deux droites sécantes.
- ① et ② sont posés côte à côte sur une même droite : ils forment un angle plat, donc ① + ② = 180°.
- ② et ③ sont posés côte à côte sur l’autre droite : ② + ③ = 180°.
Les deux sommes valent 180° et contiennent toutes les deux ②. Donc ① = 180° − ② = ③. C’est tout ! On peut aussi le voir avec la symétrie centrale : le demi-tour autour du point d’intersection envoie chaque droite sur elle-même, et donc l’angle ① pile sur l’angle ③.
D’après des auteurs grecs bien plus tardifs, c’est Thalès de Milet, vers 600 av. J.-C., qui aurait le premier remarqué que les angles opposés par le sommet sont égaux. Ce qui rend cette anecdote célèbre, ce n’est pas la propriété (n’importe quel menuisier la voyait !), mais l’idée de la démontrer au lieu de simplement la constater. Trois siècles plus tard, Euclide la range dans ses Éléments comme la proposition 15 du livre I. Une petite phrase, mais un énorme pas : celui des maths qui prouvent.
Exemples résolus
Deux rues rectilignes se croisent. Le plan de la mairie indique un angle de 62° entre elles. Quels sont les trois autres angles du carrefour ?
- L’angle opposé par le sommet à celui de 62° mesure lui aussi 62°.
- Les deux autres sont adjacents et supplémentaires à l’angle de 62° : .
- Les quatre angles : 62°, 118°, 62°, 118°. Vérification : , le tour complet.
Pour fabriquer un cadre, on coupe deux baguettes en biais, puis on les assemble pour former un angle droit. Si la première coupe fait 40° avec le bord de la baguette, quel angle faut-il pour la seconde ?
Les deux coupes doivent former ensemble l’angle droit : elles sont complémentaires. . En pratique, les encadreurs coupent à 45° et 45° : deux angles égaux et complémentaires.
« Supplémentaires » ne veut pas dire « adjacents ». Un angle de 120° dans un coin de la feuille et un angle de 60° à l’autre bout sont supplémentaires, même s’ils ne se touchent pas. Et deux angles adjacents ne sont pas forcément supplémentaires : seulement si leurs côtés extérieurs forment une ligne droite.
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- En menuiserie : pour un coin de cadre ou de plinthe, on coupe deux pièces en angles complémentaires. Avec une scie à onglet réglée sur 45°, deux coupes donnent exactement 90°.
- Au billard : la bille rebondit sur la bande en faisant le même angle à l’arrivée et au départ. Si elle arrive à 30° de la bande, elle repart à 30°, et l’angle entre les deux trajectoires vaut .
- Avec des ciseaux ou une pince : les angles opposés par le sommet sont toujours égaux. Si les poignées s’ouvrent de 25°, les lames aussi s’ouvrent de 25°.
- Sur une rampe d’accès : une rampe pour fauteuil roulant monte d’environ 3° par rapport au sol. Le mur vertical étant à 90° du sol, la rampe fait avec le mur.
- Pour le soleil et les panneaux solaires : si les rayons arrivent avec un angle de 35° au-dessus de l’horizon, on incline souvent le panneau de pour qu’il soit face au soleil.