5e 📐 Géométrie Étape 12 / 27 du parcours

La symétrie centrale

La symétrie centrale en 5e : construire le symétrique d’un point ou d’une figure par un demi-tour autour d’un centre O, et ses propriétés.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : La symétrie axiale

La symétrie centrale, c’est un demi-tour autour d’un point.

Retourne le roi de cœur : il est identique à l’endroit et à l’envers ! Il n’a pas d’axe de symétrie, mais un centre.

Si A est à 3 cm de O, son symétrique A′ est aussi à 3 cm de O, de l’autre côté, sur la même droite.

Le symétrique d’un point

Définition

Soit $O$ un point. Le symétrique d’un point $A$ par rapport à $O$ est le point $A'$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[AA']$ .

On dit que $A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à $O$ , et $O$ est le centre de symétrie.

Le symétrique de $O$ lui-même est… $O$ : c’est le seul point qui ne bouge pas.

Construire le symétrique d’un point

Pour construire le symétrique de $A$ par rapport à $O$ :

Trace la demi-droite $[AO)$ .
Avec le compas, reporte la longueur $OA$ de l’autre côté de $O$ .
Le point obtenu est $A'$ : $O$ , $A$ et $A'$ sont alignés et $OA = OA'$ .

Sur un quadrillage, c’est encore plus simple : si pour aller de $A$ à $O$ tu fais « 3 carreaux à droite, 2 vers le bas », tu refais exactement le même trajet à partir de $O$ pour arriver en $A'$ .

Un demi-tour autour de O

Le symétrique d’une figure, c’est la figure qu’on obtient en la faisant tourner d’un demi-tour (180°) autour du point $O$ .

Clique sur Demi-tour pour voir la figure tourner autour de $O$ . Déplace ensuite le centre $O$ : l’image change de place, mais elle a toujours la même forme. Essaie aussi les autres figures.

Observe les pointillés violets : chaque point et son image sont alignés avec $O$ , et $O$ est au milieu.

Un peu d’histoire

Regarde un roi, une dame ou un valet dans un jeu de cartes : le personnage est dessiné deux fois, tête-bêche. Fais faire un demi-tour à la carte : le dessin retombe presque exactement sur lui-même, le centre de la carte est un centre de symétrie ! Il n’en a pas toujours été ainsi. Pendant des siècles, les personnages étaient dessinés en entier, debout, et les joueurs devaient retourner leurs cartes pour les remettre à l’endroit… ce qui, dit-on, montrait aux adversaires qu’ils avaient des figures en main. Les cartes à double tête se sont répandues au XIX^e siècle.

Les propriétés

La symétrie centrale conserve…

les longueurs : si $A'$ et $B'$ sont les symétriques de $A$ et $B$ , alors $A'B' = AB$ ;
les angles ;
les aires et les périmètres ;
l’alignement : les symétriques de points alignés sont alignés.

Une figure et son symétrique sont donc superposables, sans retourner le papier.

Le symétrique d’une droite

Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle à la première.

Par exemple, si $A'$ et $B'$ sont les symétriques de $A$ et $B$ , alors $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$ .

Symétrique d’un triangle

Pour construire le symétrique d’un triangle $ABC$ par rapport à $O$ :

Construis $A'$ , $B'$ et $C'$ , symétriques de $A$ , $B$ et $C$ .
Relie-les : le triangle $A'B'C'$ est le symétrique de $ABC$ .
Vérifie : $A'B' = AB$ , $B'C' = BC$ , $A'C' = AC$ , et le triangle est « tête en bas ».

Centre de symétrie d’une figure

Définition

Un point $O$ est un centre de symétrie d’une figure si la figure est sa propre image par la symétrie de centre $O$ : après un demi-tour autour de $O$ , elle retombe exactement sur elle-même.

Un cercle a pour centre de symétrie son centre.
Un segment a pour centre de symétrie son milieu.
Un parallélogramme a pour centre de symétrie le point d’intersection de ses diagonales.
Les lettres N, S, Z et H ont un centre de symétrie. La lettre A n’en a pas (mais elle a un axe).

Attention

Ne confonds pas avec la symétrie axiale : on « plie » le long d’une droite et la figure est retournée comme dans un miroir. Avec la symétrie centrale, on tourne d’un demi-tour : pas de retournement, la figure est « tête en bas ».
$O$ doit être le milieu de $[AA']$ : il ne suffit pas que $A$ , $O$ et $A'$ soient alignés, il faut aussi $OA = OA'$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Les cartes à jouer : les figures (roi, dame, valet) sont dessinées avec un centre de symétrie. Quel que soit le sens dans lequel tu les tiens, tu les lis à l’endroit. Un jeu de 52 cartes contient 12 figures conçues ainsi.
La mécanique : une hélice d’avion à deux pales ou une roue de vélo doivent avoir un centre de symétrie. Si une pale de 1 m pèse 50 g de plus que l’autre, l’hélice qui tourne à 2 000 tours par minute vibre et peut se casser.
Le logo et le design : de nombreux logos et motifs de carrelage sont construits par demi-tour (pense à la lettre S ou au signe ∞ dessinés en grand). Dans un logiciel de dessin, on dessine une moitié, puis on la duplique avec une rotation de 180°.
Les jeux vidéo : pour créer une carte de jeu équitable entre deux équipes, les concepteurs placent la base de l’équipe bleue et celle de l’équipe rouge symétriques par rapport au centre de la carte. Si la base bleue est à 120 m au sud-ouest du centre, la base rouge est à 120 m au nord-est.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

A′ est le symétrique de A par rapport à O. Que peut-on dire de O ?
AB = 5,4 cm. A′ et B′ sont les symétriques de A et B par rapport à O. Combien mesure A′B′ (en cm) ?
Sur un quadrillage, pour aller de A à O on fait 2 carreaux à droite et 3 vers le haut. Pour aller de O à A′, on fait :
Laquelle de ces lettres a un centre de symétrie ?
Une hélice d’éolienne à 2 pales a un centre de symétrie. Une pale mesure 45 m depuis le centre. Quelle distance sépare les extrémités des deux pales (en m) ?
Dans un jeu vidéo, la base bleue est à 80 m du centre de la carte, qui est son centre de symétrie. À quelle distance de la base bleue se trouve la base rouge symétrique (en m) ?