Angles alternes-internes et correspondants
Angles alternes-internes et correspondants en 5e : les reconnaître sur une figure, les utiliser avec des parallèles et prouver que deux droites sont parallèles.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les angles , Droites parallèles et perpendiculaires
Deux parallèles coupées par une sécante : les angles alternes-internes sont égaux.
Regarde un parking en épi : des lignes parallèles coupées par une oblique. Si un angle mesure 60°, son « jumeau » de l’autre côté mesure aussi 60°.
Pratique : on calcule des angles sans rapporteur, et on peut même prouver que deux droites sont parallèles.
Le vocabulaire
On considère deux droites et coupées par une troisième droite , appelée sécante. Elle forme 4 angles avec chaque droite, donc 8 angles en tout.
- Deux angles sont alternes-internes s’ils sont entre les deux droites et (« internes ») et de part et d’autre de la sécante (« alternes »), avec des sommets différents.
- Deux angles sont correspondants s’ils sont du même côté de la sécante et occupent la même position à chaque croisement : l’un entre les droites, l’autre à l’extérieur, comme si on avait fait glisser l’un sur l’autre le long de la sécante.
Les angles alternes-internes dessinent un Z (ou un N) avec les deux droites et la sécante. Les angles correspondants dessinent un F : ils sont « au même étage » de chaque croisement.
Fais tourner la sécante
Clique sur Alternes-internes ou Correspondants (clique plusieurs fois pour voir toutes les paires), puis fais tourner la sécante avec le curseur. Ensuite, décoche « parallèles » : que se passe-t-il ?
Quand les droites sont parallèles, les deux angles colorés restent égaux, quelle que soit l’inclinaison de la sécante. Dès que les droites ne sont plus parallèles, l’égalité disparaît.
Les propriétés
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :
- les angles alternes-internes sont égaux ;
- les angles correspondants sont égaux.
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture
Les deux propriétés n’en font en réalité qu’une. Prends un angle au croisement avec , l’angle qui lui est correspondant au croisement avec , et l’angle qui lui est alterne-interne. Regarde bien : et sont opposés par le sommet, donc . Ainsi, dire que (alternes-internes) ou que (correspondants), c’est dire la même chose.
Et pourquoi les angles correspondants sont-ils égaux quand les droites sont parallèles ? Fais glisser la droite le long de la sécante jusqu’à : comme elles sont parallèles, elle vient se poser exactement dessus, et l’angle glisse sans changer d’ouverture.
La réciproque est très utile : elle sert à prouver que deux droites sont parallèles.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes égaux (ou deux angles correspondants égaux), alors ces deux droites sont parallèles.
Ces propriétés figurent déjà dans les Éléments d’Euclide, écrits à Alexandrie vers 300 av. J.-C. Pour les démontrer, Euclide a besoin d’une règle qu’il admet sans preuve, son fameux « cinquième postulat », qui revient à dire : par un point, il passe une seule parallèle à une droite donnée. Pendant plus de 2 000 ans, des mathématiciens ont essayé de démontrer ce postulat… sans succès. Vers 1830, le Russe Lobatchevski et le Hongrois Bolyai ont compris pourquoi : on peut inventer des géométries où il est faux ! Dans ces géométries « non euclidiennes », la somme des angles d’un triangle n’est même plus égale à 180°.
Exemples pas à pas
Les bordures d’un parking sont deux droites parallèles. Une ligne blanche les traverse et fait avec la première bordure un angle de 65°. Quel angle fait-elle avec la seconde bordure, en position alterne-interne ?
- Les deux bordures sont parallèles.
- Les angles alternes-internes formés par deux parallèles et une sécante sont égaux.
- Donc l’angle cherché mesure aussi 65°.
Deux droites parallèles et sont coupées par une sécante. En haut à droite du croisement avec , l’angle mesure 72°.
- L’angle voisin (en haut à gauche) forme avec lui un angle plat : .
- Les angles opposés par le sommet sont égaux : en bas à gauche, 72° ; en bas à droite, 108°.
- Sur , les angles correspondants sont égaux : on retrouve exactement les mêmes valeurs aux mêmes places.
Avec une seule mesure, on connaît les 8 angles !
Un menuisier veut vérifier que deux étagères sont parallèles. Il mesure l’angle que fait un montant oblique avec chaque étagère : 58° en haut, et 58° en bas en position correspondante.
- Les deux angles correspondants mesurent tous les deux 58° : ils sont égaux.
- Or, si deux droites forment avec une sécante des angles correspondants égaux, elles sont parallèles.
- Donc les deux étagères sont parallèles. Si l’une des mesures avait été 61°, il aurait su qu’elles ne l’étaient pas.
- Des angles alternes-internes ou correspondants ne sont égaux que si les droites sont parallèles. Sans parallèles, ils existent toujours, mais ils n’ont aucune raison d’être égaux.
- Ne confonds pas avec les angles opposés par le sommet, qui ont le même sommet : eux sont toujours égaux, même sans parallèles.
- Deux angles alternes-internes ont des sommets différents (un sur chaque droite).
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- Le traçage d’un parking : pour tracer des places en épi à 60°, l’agent n’a besoin de mesurer l’angle qu’une seule fois : toutes les lignes parallèles feront le même angle de 60° avec la bordure.
- La menuiserie et les escaliers : le limon (la planche oblique) d’un escalier coupe toutes les marches horizontales, qui sont parallèles. Si la pente est de 35°, chaque marche se fixe avec le même angle de 35°, sans recalculer.
- L’optique : un rayon de lumière qui traverse une vitre à faces parallèles ressort parallèle à sa direction de départ. Les angles alternes-internes aux deux faces de la vitre expliquent pourquoi l’image n’est que légèrement décalée.
- La topographie et le bâtiment : un géomètre qui veut vérifier que deux murs sont bien parallèles tend un cordeau en biais entre eux et compare deux angles alternes-internes. Avec 87° d’un côté et 87° de l’autre, les murs sont parallèles.