Les parallélogrammes
Parallélogramme, rectangle, losange et carré en 5e : définitions, propriétés des côtés et des diagonales, et comment reconnaître chaque quadrilatère.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : La symétrie centrale , Droites parallèles et perpendiculaires
Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
Une porte, un écran, un carreau de fenêtre : les quadrilatères sont partout.
Le rectangle, le losange et le carré font partie d’une famille très spéciale : les parallélogrammes. Apprendre leurs propriétés, c’est savoir les reconnaître… et le prouver.
Le parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
est un parallélogramme lorsque et .
Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales. C’est de là que viennent toutes ses propriétés.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
- ses côtés opposés ont la même longueur ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs ont une somme de 180°.
Le mot « parallélogramme » vient du grec et signifie « tracé avec des lignes parallèles ». Vers 300 av. J.-C., Euclide démontre déjà dans ses Éléments que les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur. Les inventeurs en ont fait bon usage : vers 1603, l’astronome allemand Christoph Scheiner invente le pantographe, un assemblage de tiges articulées en parallélogrammes qui recopie un dessin en l’agrandissant ou en le réduisant. On retrouve le même principe dans les lampes de bureau articulées et dans certains essuie-glaces de bus.
Reconnais-les en direct
Déplace les sommets , , et : le nom du quadrilatère et la liste de ses propriétés se mettent à jour. Essaie de fabriquer un losange qui n’est pas un carré, puis un rectangle à partir d’un parallélogramme. Les boutons proposent des exemples de départ.
Déplace les sommets A, B, C, D sur les nœuds du quadrillage.
Remarque que les trois premières propriétés de la liste sont toujours vraies ensemble (ou fausses ensemble) : ce sont trois façons de reconnaître un parallélogramme.
Un quadrilatère (non croisé) est un parallélogramme si l’une de ces conditions est vraie :
- ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
- ses diagonales ont le même milieu ;
- ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux ;
- deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture
Pourquoi les côtés opposés ont-ils la même longueur ? Soit un parallélogramme et le milieu de la diagonale . La symétrie de centre échange et .
- Le symétrique de la droite est la droite parallèle à qui passe par : c’est .
- Le symétrique de la droite est la droite parallèle à qui passe par : c’est .
Le point , intersection de et , a donc pour symétrique l’intersection de et : le point . Ainsi est aussi le milieu de (les diagonales se coupent en leur milieu) et, comme la symétrie centrale conserve les longueurs, et .
Les parallélogrammes particuliers
- Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
- Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
- Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
Ce sont tous des parallélogrammes : ils ont donc toutes les propriétés du parallélogramme, plus les leurs.
| Diagonales de même milieu | Diagonales de même longueur | Diagonales perpendiculaires | |
|---|---|---|---|
| Parallélogramme | ✔ | ||
| Rectangle | ✔ | ✔ | |
| Losange | ✔ | ✔ | |
| Carré | ✔ | ✔ | ✔ |
- Un parallélogramme qui a un angle droit ou des diagonales de même longueur est un rectangle.
- Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux ou des diagonales perpendiculaires est un losange.
- Un parallélogramme qui est à la fois rectangle et losange est un carré.
Exemples pas à pas
Pour vérifier qu’un cadre de bibliothèque est bien rectangulaire, un menuisier mesure ses deux côtés opposés (deux fois 1,80 m et deux fois 0,90 m), puis ses deux diagonales : 2,01 m et 2,01 m.
- Les côtés opposés ont la même longueur deux à deux : c’est un parallélogramme.
- Ses diagonales ont la même longueur : c’est un rectangle.
C’est la méthode des « diagonales égales » utilisée par tous les menuisiers et maçons.
Le quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, mais elles ne se coupent pas en leur milieu. Est-ce un losange ?
Non ! Un losange est d’abord un parallélogramme : ses diagonales doivent se couper en leur milieu. Ici, est un quadrilatère en forme de cerf-volant, mais ce n’est pas un losange.
- Un carré est un rectangle, et aussi un losange. Mais un rectangle n’est pas toujours un carré.
- Des diagonales perpendiculaires ne suffisent pas pour avoir un losange : il faut aussi qu’elles aient le même milieu.
- Pour prouver, on n’utilise jamais « ça se voit sur le dessin » : on cite des longueurs, des angles ou des parallèles connus.
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- La maçonnerie et la menuiserie : pour vérifier qu’une dalle de 4 m sur 3 m est bien rectangulaire, le maçon mesure les deux diagonales : elles doivent avoir exactement la même longueur, ici 5 m. Si l’une mesure 5,05 m, la dalle est « de travers ».
- Les lampes et les portails extensibles : les bras articulés d’une lampe de bureau ou les ciseaux d’un portail extensible forment des parallélogrammes. Quand on déforme le parallélogramme, les côtés opposés restent parallèles, donc l’ampoule reste orientée dans la même direction.
- Le pantographe des trains : le pantographe (sur le toit des TGV) utilise des parallélogrammes articulés pour rester appuyé contre le câble électrique, même quand la hauteur du câble varie de plusieurs dizaines de centimètres.
- Le carrelage et la mode : les motifs en losanges (pulls jacquard, carreaux de ciment) se répètent sans laisser de trou, car deux angles consécutifs d’un losange ont une somme de 180°. Un losange à angles de 60° et 120° permet aussi de créer l’illusion de cubes en 3D.