4e 📐 Géométrie Étape 15 / 27 du parcours

Les droites remarquables du triangle

Droites remarquables du triangle : médiatrices, hauteurs, médianes et bissectrices, leurs points de concours et les cercles circonscrit et inscrit.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les triangles particuliers , Droites parallèles et perpendiculaires , Le cercle

Dans tout triangle, certaines droites vont par trois et se croisent toujours en un même point.

Trace trois droites au hasard : elles forment presque toujours un petit triangle. Mais les trois médianes d’un triangle se croisent toujours en un seul point $G$ , aux deux tiers de chacune !

Médiatrices, hauteurs, médianes, bissectrices : quatre familles, quatre points de rendez-vous.

Les quatre familles

Droites remarquables d’un triangle ABC

La médiatrice d’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté qui passe par son milieu.
La hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
La médiane issue d’un sommet est la droite (ou le segment) qui joint ce sommet au milieu du côté opposé.
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.

Chaque triangle a donc 3 médiatrices, 3 hauteurs, 3 médianes et 3 bissectrices. Ça fait douze droites !

À toi de jouer

Choisis une famille, puis déplace les sommets A, B et C. Les trois droites bougent… mais restent concourantes : elles passent toujours par un même point. Pour les hauteurs, essaie de rendre un angle obtus et regarde où file le point H.

Les quatre points de rendez-vous

Points de concours

Les 3 médiatrices se coupent en un point $O$ , centre du cercle circonscrit : le cercle qui passe par les trois sommets.
Les 3 hauteurs se coupent en un point $H$ , appelé orthocentre.
Les 3 médianes se coupent en un point $G$ , le centre de gravité. Il est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.
Les 3 bissectrices se coupent en un point $I$ , centre du cercle inscrit : le cercle qui touche les trois côtés de l’intérieur.

Pourquoi les trois médiatrices se croisent-elles en un seul point ?— facultatif, à sauter en première lecture

La clé : un point est sur la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si il est à la même distance de $A$ et de $B$ .

Appelons $O$ le point où se coupent les médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$ .

$O$ est sur la médiatrice de $[AB]$ , donc $OA = OB$ .
$O$ est sur la médiatrice de $[BC]$ , donc $OB = OC$ .

Alors $OA = OC$ : $O$ est à égale distance de $A$ et de $C$ , il est donc aussi sur la troisième médiatrice, celle de $[AC]$ . Les trois se croisent bien en $O$ , et le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ passe par les trois sommets. Pour les bissectrices, c’est le même raisonnement avec « à égale distance des côtés ».

Hauteur ≠ médiane ≠ médiatrice

La médiatrice ne passe pas forcément par un sommet ; la hauteur et la médiane, si.
La hauteur fait un angle droit avec le côté opposé ; la médiane coupe ce côté en son milieu. Ce n’est en général pas le même point !
Dans un triangle obtus, l’orthocentre $H$ et le centre $O$ du cercle circonscrit sont à l’extérieur du triangle. $G$ et $I$ , eux, restent toujours à l’intérieur.

Exemples résolus

L’antenne des trois villages

Trois villages veulent installer une antenne relais à la même distance des trois. Où la placer ?

Être à égale distance de deux villages, c’est être sur la médiatrice du segment qui les relie.
Il faut être sur les trois médiatrices à la fois : c’est leur point de concours $O$ , le centre du cercle circonscrit au triangle formé par les villages.
Sur la carte, on trace deux médiatrices (la troisième passe automatiquement au même endroit) et on place l’antenne à leur intersection.

Le triangle en équilibre

On découpe un triangle dans du carton et on veut le faire tenir en équilibre sur la pointe d’un crayon. Les sommets sont $A$ , $B$ , $C$ et la médiane issue de $A$ mesure 9 cm. Où poser le crayon ?

Le point d’équilibre d’une plaque triangulaire est le centre de gravité $G$ .
$G$ est aux deux tiers de la médiane depuis le sommet : $AG = \dfrac{2}{3} \times 9 = 6$ cm.
On pose le crayon sur la médiane issue de $A$ , à 6 cm de $A$ (donc à 3 cm du milieu de $[BC]$ ).

La droite d’Euler

Les Grecs connaissaient déjà ces quatre points de concours. Mais il a fallu attendre 1765 pour qu’un Suisse, Leonhard Euler, remarque une chose stupéfiante : dans n’importe quel triangle, $O$ , $G$ et $H$ sont alignés ! Cette droite porte aujourd’hui son nom. Mieux : $G$ est toujours situé au tiers du chemin entre $O$ et $H$ . Euler, qui a écrit plus de 800 articles et livres, continuait à faire des découvertes même après être devenu presque aveugle. Tu peux vérifier sa trouvaille dans le widget en passant d’une famille à l’autre sans bouger le triangle.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour placer un équipement : une antenne, une caserne de pompiers ou un point de rendez-vous à égale distance de trois lieux se place au point de concours des médiatrices. Pour trois villages à 6 km, 8 km et 10 km les uns des autres (triangle rectangle), le point est au milieu du plus grand côté, à 5 km de chacun.
En archéologie : avec un simple morceau d’assiette ancienne, on retrouve son centre en traçant les médiatrices de deux cordes, puis son rayon. Si le centre est à 12 cm du bord, l’assiette mesurait 24 cm de diamètre.
En équilibre : un mobile, un panneau triangulaire suspendu ou une plaque en métal tiennent à l’horizontale si on les accroche au centre de gravité, situé aux 2/3 de chaque médiane.
En aménagement : pour installer la plus grande table ronde possible dans un coin triangulaire de jardin, on la centre sur le point de concours des bissectrices : c’est le cercle inscrit.
En robotique et dans les jeux vidéo : le centre de gravité d’un triangle (la moyenne des coordonnées des trois sommets) sert à placer une étiquette ou à calculer comment un objet 3D va tourner.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

La droite perpendiculaire à un côté et passant par son milieu s’appelle :
Le point de concours des médianes s’appelle :
Une médiane mesure 12 cm. À quelle distance du sommet (en cm) se trouve le centre de gravité ?
Le cercle qui passe par les trois sommets d’un triangle a pour centre le point de concours des…
Un club veut placer un ravitaillement à égale distance de trois postes de course. Quelles droites doit-il tracer sur la carte ?
On suspend une plaque triangulaire par son centre de gravité. Sa médiane issue de A mesure 30 cm. À combien de cm du milieu du côté opposé se trouve le point d’accroche ?