Les triangles particuliers
Les triangles particuliers : isocèle, équilatéral, rectangle. Reconnaître chacun, le coder sur une figure et utiliser ses propriétés.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les polygones , Les angles
Deux côtés égaux : isocèle. Trois : équilatéral. Un angle droit : rectangle.
Le toit d’une maison a souvent deux pans de même longueur, par exemple 5 m et 5 m : c’est un triangle isocèle.
Le panneau « Attention travaux » a ses trois côtés égaux, et le coin de ta feuille fait un angle droit. Ces triangles particuliers ont des super-pouvoirs : apprenons à les reconnaître d’un coup d’œil.
Les trois familles de triangles particuliers
- Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le point où ces deux côtés se rejoignent s’appelle le sommet principal ; le troisième côté est la base.
- Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur.
- Un triangle rectangle a un angle droit. Le côté en face de l’angle droit est l’hypoténuse : c’est le plus long des trois.
Un triangle peut cumuler les titres : un triangle rectangle isocèle a un angle droit et deux côtés égaux (comme la moitié d’un carré coupé en diagonale). Et un triangle équilatéral est aussi isocèle… et même trois fois, en prenant n’importe quel sommet comme sommet principal !
Le codage : parler sans mots
Sur une figure, on ne recopie pas les longueurs partout. On utilise des codes :
- des petits traits identiques sur des côtés qui ont la même longueur ;
- un petit carré dans le coin d’un angle droit.
Déplace les sommets A, B et C dans le widget. Le triangle se reconnaît tout seul et se code en direct. Essaie de fabriquer un triangle isocèle, puis un rectangle, sans utiliser les boutons (un aimant t’aide quand tu passes tout près).
Déplace A, B ou C : un « aimant » t’aide à tomber pile sur un triangle particulier.
Un triangle qui « a l’air » rectangle ne l’est pas forcément ! Sans codage, sans mesure ou sans indication dans l’énoncé, on ne peut rien affirmer. Le codage, c’est la preuve écrite sur la figure.
Les super-pouvoirs : les angles
- Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux. Et inversement : si un triangle a deux angles égaux, il est isocèle.
- Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.
- Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme 90°.
- Dans un triangle rectangle isocèle, les angles mesurent 90°, 45° et 45°.
Tout ça vient d’une seule règle : la somme des angles d’un triangle vaut 180°. Par exemple, pour l’équilatéral : trois angles égaux qui font 180° en tout, donc chacun.
Pourquoi les angles à la base d’un isocèle sont-ils égaux ?— facultatif, à sauter en première lecture
Prends un triangle isocèle en : . Le point est à la même distance de et de , donc il est sur la médiatrice de . Cette médiatrice est un axe de symétrie du triangle : la symétrie qui l’utilise échange et et laisse en place.
Elle transforme donc l’angle en l’angle . Or une symétrie conserve les angles : . Plie un triangle isocèle découpé dans du papier : les deux angles de la base se superposent exactement !
Des exemples tirés de la vraie vie
Un charpentier fabrique une ferme de toit en forme de triangle isocèle. L’angle au sommet (tout en haut) mesure 110°. Quel angle fait chaque pan du toit avec la poutre horizontale ?
- Le triangle est isocèle : ses deux angles à la base sont égaux.
- Les trois angles font 180°, donc les deux angles de la base font ensemble .
- Chacun mesure . Le toit est incliné de 35°.
Une échelle posée contre un mur vertical forme avec le sol un angle de 72°. Mur et sol forment un triangle rectangle. Quel angle l’échelle fait-elle avec le mur ?
Les deux angles aigus d’un triangle rectangle font 90° ensemble : . L’échelle fait un angle de 18° avec le mur.
Trace le côté . Pique le compas en avec l’écartement , trace un arc. Pique en avec le même écartement, trace un autre arc. Les arcs se croisent en : est équilatéral. Pas besoin de rapporteur !
Le tout premier problème du célèbre livre d’Euclide, les Éléments (écrit vers 300 av. J.-C.), c’est justement : construire un triangle équilatéral avec un compas. Quelques pages plus loin vient la propriété des angles à la base d’un triangle isocèle. Au Moyen Âge, les étudiants la surnommaient le « pont aux ânes » : la figure ressemble à un petit pont, et ceux qui n’arrivaient pas à la comprendre restaient bloqués de l’autre côté… L’expression est restée en français pour désigner une difficulté que tout le monde devrait savoir franchir.
Les pièges classiques
- Hypoténuse : c’est le côté en face de l’angle droit, jamais un côté qui le touche.
- Isocèle en A veut dire que est le sommet principal : ce sont et qui sont égaux, pas .
- Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits : avec 90° + 90°, il ne resterait plus rien pour le troisième angle !
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- Sur la route : les panneaux de danger sont des triangles équilatéraux. Sur une route ordinaire, leur côté mesure 1 m ; chaque coin fait 60°, ce qui les rend reconnaissables de loin.
- En charpente : les fermes de toit sont souvent isocèles, pour que les deux pans soient symétriques. Avec un angle au sommet de 120°, chaque pan est incliné de 30°.
- En bricolage : une équerre de menuisier est un triangle rectangle. Pour vérifier un coin d’étagère, on la plaque contre les deux planches : si ça colle, l’angle fait bien 90°.
- À vélo : le cadre d’un vélo est fait de triangles, car un triangle est indéformable. Un carré, lui, s’écrase en losange si on appuie dessus.
- En cuisine : une pizza coupée en 6 parts égales donne 6 triangles (presque) équilatéraux : l’angle de chaque part vaut .