L’inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire en 5e : savoir si un triangle est constructible avec trois longueurs, et pourquoi la ligne droite est le plus court chemin.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les polygones
Le chemin tout droit est toujours plus court qu’un détour.
Ta maison est à 800 m du collège à vol d’oiseau. Par la boulangerie, tu fais 500 + 450 = 950 m : le détour coûte 150 m.
C’est l’inégalité triangulaire. Elle dit aussi, sans rien dessiner, si trois baguettes peuvent former un triangle.
Le plus court chemin
Prends trois points , et . Pour aller de à , tu peux y aller tout droit, ou faire un détour par .
Pour trois points , et quelconques :
Le chemin direct est toujours le plus court. Il y a égalité () seulement quand est sur le segment .
Ta maison est à 800 m du collège à vol d’oiseau. La boulangerie est à 500 m de ta maison et à 450 m du collège.
Par la boulangerie, tu parcours m. C’est bien plus que m : le détour te coûte 150 m.
Vers 300 av. J.-C., Euclide démontre dans ses Éléments que, dans tout triangle, la somme de deux côtés est plus grande que le troisième. Des siècles plus tard, le philosophe Proclus raconte que certains se moquaient de cette démonstration : même un âne le sait ! Mets du foin au bout d’un pré : l’âne y va tout droit, il ne fait pas le détour par les deux autres côtés du triangle. Proclus leur répond qu’en mathématiques, savoir qu’une chose est vraie ne suffit pas : il faut comprendre pourquoi.
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture
Prenons un vrai triangle et montrons que . Si n’est pas le plus grand côté, c’est évident : est plus petit que l’un des deux autres côtés, donc que leur somme.
Supposons donc que est le plus grand côté. Les angles en et en sont alors aigus (le plus grand angle est en face du plus grand côté), donc la perpendiculaire à passant par coupe le segment en un point .
- Dans le triangle rectangle en , l’hypoténuse est le plus long côté : .
- De même, dans le triangle rectangle en : .
En additionnant : .
Trois baguettes, un triangle ?
Tu as trois baguettes de longueurs , et . Tu poses la plus longue par terre et tu fais pivoter les deux autres autour de ses extrémités. Vont-elles se toucher ?
Règle les trois longueurs avec les curseurs, puis appuie sur Refermer. Cherche des longueurs pour lesquelles ça ne marche pas, puis le cas limite où le triangle devient tout plat.
Tu as dû remarquer que tout se joue avec le plus grand côté : si les deux petits côtés réunis sont plus courts que lui, ils ne peuvent pas se rejoindre.
On peut construire un triangle avec trois longueurs si et seulement si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres.
- Si la plus grande est égale à la somme des deux autres, le triangle est aplati : ses trois sommets sont alignés.
- Si elle est plus grande, le triangle est impossible.
Inutile de vérifier les trois inégalités ! Repère le plus grand côté et compare-le à la somme des deux autres. Les deux autres comparaisons sont forcément vraies.
Exemples pas à pas
Lucas veut fabriquer un cadre triangulaire avec des tasseaux de 12 cm, 7 cm et 4 cm. Est-ce possible ?
- Le plus grand côté mesure 12 cm.
- La somme des deux autres : cm.
- : impossible. Les tasseaux de 7 cm et 4 cm sont trop courts pour se rejoindre.
Peut-on construire un triangle avec cm, cm et cm ?
- Le plus grand côté : cm.
- cm.
- : le triangle est aplati. Le point est sur le segment , à 4 cm de .
Un triangle a deux côtés de 6 cm et 10 cm. Quelles longueurs peut avoir le troisième côté ?
- Si est le plus grand côté : il faut , donc .
- Si 10 est le plus grand côté : il faut , donc .
Le troisième côté est donc compris strictement entre 4 cm et 16 cm : .
- Ne compare pas n’importe quel côté : c’est le plus grand qu’il faut tester.
- « Plus petit ou égal » ne suffit pas pour un vrai triangle : si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, on obtient un triangle aplati, c’est-à-dire trois points alignés.
- Vérifie que les longueurs sont dans la même unité avant de comparer (3 cm et 25 mm, ce n’est pas 3 et 25 !).
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- Les GPS et les cartes : un trajet qui passe par une ville intermédiaire est toujours au moins aussi long que la route directe. Si Paris–Lyon fait 390 km à vol d’oiseau, aucun trajet par Dijon ne fera moins de 390 km. Les logiciels d’itinéraire s’en servent pour éliminer très vite les détours inutiles.
- La charpente et le bricolage : une ferme de toit est un triangle de poutres. Avec un entrait (la poutre horizontale) de 8 m, il faut deux arbalétriers de plus de 4 m chacun, sinon impossible de les assembler au sommet.
- Les jeux vidéo : pour savoir si un ennemi est assez proche pour attaquer, le jeu compare des distances. L’inégalité triangulaire permet d’éviter des calculs : si un joueur est à 30 m d’un arbre et l’ennemi à 5 m de ce même arbre, l’ennemi est forcément à au moins 25 m du joueur.
- Le sport : au football, un joueur qui fait une passe à un coéquipier qui tire au but fait parcourir au ballon un chemin plus long qu’un tir direct. Un défenseur placé sur la ligne droite entre le ballon et le but coupe le chemin le plus court.