Frises et pavages
Frises et pavages du plan : comment un motif répété par translation, symétrie ou rotation remplit une bande ou tout le plan, sans trou ni chevauchement.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : La symétrie axiale , La symétrie centrale , La somme des angles d’un polygone
Un même motif répété sans trou : c’est une frise ou un pavage.
Sur une frise, le motif se répète dans une seule direction, comme une bordure de vase. Sur un pavage, il recouvre tout le plan, comme un carrelage.
Une salle de bain de 6 m² en carreaux de 20 cm de côté ? 150 carreaux identiques, sans un seul trou ! Derrière ces décors : translations, symétries et rotations.
Frise ou pavage ?
- Une frise est une bande décorée par un motif qui se répète dans une seule direction, par une translation toujours identique.
- Un pavage du plan est un recouvrement du plan par des copies d’une ou plusieurs pièces, sans trou et sans chevauchement. Le plus souvent, les copies se répètent dans deux directions.
Le motif de base est le plus petit morceau qui, recopié par les transformations, reconstruit toute la frise ou tout le pavage.
À toi de construire
Choisis un mode, puis appuie sur « Construire ». Observe d’où part chaque copie et comment elle rejoint sa place : glissement (translation), pliage (symétrie) ou rotation autour d’un point. Dans les pavages, regarde bien les bosses des pièces : chaque bosse s’emboîte dans un creux.
Les transformations au travail
- Translation de vecteur : la figure glisse, sans tourner. Elle sert à toutes les frises et à presque tous les pavages.
- Symétrie axiale : la figure est retournée comme dans un miroir. Elle crée des motifs qui alternent « endroit, envers ».
- Rotation de centre et d’angle donné : la figure tourne autour d’un point. Avec un quart de tour (90°), quatre copies font le tour complet ; avec un sixième de tour (60°), il en faut six.
Toutes ces transformations conservent les longueurs, les angles et les aires : les copies sont parfaitement identiques au motif, d’où l’absence de trou.
Un carrelage est formé de carreaux carrés de 20 cm de côté, chacun décoré d’une même flèche orientée vers la droite. Par quelle transformation passe-t-on d’un carreau à son voisin de droite ? Et à celui du dessus ?
- La flèche garde la même direction et le même sens : il n’y a ni rotation ni retournement.
- Vers la droite : translation de 20 cm vers la droite (vecteur ).
- Vers le haut : translation de 20 cm vers le haut (vecteur ).
- Tout le carrelage s’obtient en combinant ces deux translations : c’est un pavage par translations.
Quels polygones réguliers pavent le plan ?
Pour qu’un pavage avec un seul polygone régulier fonctionne, les angles qui se retrouvent autour d’un même sommet doivent remplir exactement un tour complet, 360°.
Pourquoi seulement trois polygones réguliers ?— facultatif, à sauter en première lecture
Un polygone régulier à côtés a des angles de . Pour paver, il faut qu’un nombre entier de ces angles fasse 360°.
- Triangle équilatéral : 60°, et ✓
- Carré : 90°, et ✓
- Pentagone régulier : 108°… , il manque 36° ; , ça déborde ✗
- Hexagone régulier : 120°, et ✓
- À partir de 7 côtés, l’angle dépasse 120° : deux angles ne suffisent pas à faire 360°, trois angles dépassent 360° ✗
Conclusion : seuls le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier pavent le plan tout seuls. Les abeilles ont choisi le troisième !
Pars d’un carré. Découpe une bosse sur le côté gauche et recolle-la par translation sur le côté droit. Fais pareil entre le bas et le haut. Ta pièce a maintenant une forme bizarre… mais elle pave encore le plan ! C’est exactement le mode « Pavage : translations » du widget. Ajoute un œil, une queue, et ta pièce devient un poisson ou un oiseau.
- Dans une frise, la translation se fait dans une seule direction. Si le motif se répète aussi vers le haut, c’est un pavage.
- « Sans chevauchement » est indispensable : des pièces qui se superposent ne forment pas un pavage, même si elles couvrent tout.
- Le motif de base doit être le plus petit possible : dans une frise « endroit, envers, endroit, envers… », le motif de base est un seul dessin, transformé ensuite par symétrie et translation.
Au XIVe siècle, les artisans du palais de l’Alhambra, à Grenade en Espagne, ont couvert murs et sols de pavages d’une incroyable variété. En 1936, l’artiste néerlandais Maurits Cornelis Escher retourne visiter le palais et passe des jours à recopier ces motifs. Il en revient obsédé : pendant le reste de sa vie, il dessinera des pavages de poissons, de lézards et d’oiseaux qui s’emboîtent parfaitement. Pendant ce temps, les mathématiciens avaient prouvé (en 1891, avec le Russe Evgraf Fedorov) qu’il n’existe que 17 façons différentes de répéter un motif dans deux directions. On dit souvent que les 17 sont présentes à l’Alhambra, même si les spécialistes en débattent encore !
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- En bricolage : pour carreler une salle de bain de 2 m × 1,6 m avec des carreaux de 20 cm × 20 cm, il faut carreaux, posés par translations. On en achète environ 10 % de plus pour les coupes et la casse.
- Pour le papier peint : le motif se répète à intervalle régulier en hauteur, par exemple tous les 64 cm (le « raccord », indiqué sur le rouleau). Pour un mur de 2,50 m, on prévoit cm de papier par lé, pour que les motifs de deux lés voisins tombent pile en face.
- Dans les jeux vidéo : les décors en 2D sont souvent construits avec des « tuiles » carrées de 16 × 16 pixels répétées par translation. Un écran de 320 × 240 pixels en contient .
- Dans la rue : les pavés autobloquants des trottoirs ont des formes ondulées qui s’emboîtent, exactement comme les pièces d’Escher, pour que les pavés ne bougent pas quand une voiture roule dessus.
- En textile : les tissus imprimés (wax, vichy, motifs écossais) sont des pavages. Un rouleau d’impression de 64 cm de tour imprime le même motif tous les 64 cm de tissu.