3e 📏 Grandeurs et mesures Étape 14 / 19 du parcours

Agrandissement et réduction

Agrandissement et réduction de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. Maquettes, cartes et sections.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Translation, rotation et homothétie , Volumes du cube, du pavé, du prisme et du cylindre , Proportionnalité et pourcentages

Agrandir de rapport k : longueurs ×k, aires ×k², volumes ×k³.

Double toutes les dimensions d’un aquarium : il contiendra huit fois plus d’eau, pas deux fois plus !

Maquette au 1/43, carte au 1/25 000, photo agrandie en poster : la forme reste la même, seule la taille change.

côtés × 21 cube8 cubesvolume × 8

Le coefficient k

Définition

Agrandir ou réduire une figure (ou un solide) de rapport kk, c’est multiplier toutes les longueurs par le même nombre k>0k > 0. Les angles ne changent pas : la forme est conservée.

  • Si k>1k > 1, c’est un agrandissement.
  • Si 0<k<10 < k < 1, c’est une réduction.
  • Si k=1k = 1, la figure ne change pas.

Le rapport kk se calcule en divisant une longueur de la nouvelle figure par la longueur correspondante de la figure de départ :

k=longueur apreˋslongueur avantk = \frac{\text{longueur après}}{\text{longueur avant}}

Longueurs, aires, volumes : trois effets différents

Fais varier kk avec le curseur. À gauche, un segment de longueur 1 ; au milieu, un carré de côté 1 ; à droite, un cube d’arête 1. Le contour en pointillés noirs montre la taille de départ. Compte les petits carrés et les petits cubes.

Longueurs, aires et volumes à l’échelle k

Avec k=2k = 2, le segment mesure 2, le carré contient 2×2=42 \times 2 = 4 carrés unités et le cube contient 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8 cubes unités. Une aire a deux dimensions (multipliées chacune par kk), un volume en a trois.

Effet d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport k
  • Les longueurs sont multipliées par kk.
  • Les aires sont multipliées par k2k^2.
  • Les volumes sont multipliés par k3k^3.
  • Les angles ne changent pas.
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Prends un rectangle de longueur LL et de largeur ℓ\ell : son aire est L×ℓL \times \ell. Après un agrandissement de rapport kk, ses côtés deviennent kLkL et kℓk\ell, donc sa nouvelle aire est

kL×kℓ=k2×(L×ℓ)kL \times k\ell = k^2 \times (L \times \ell)

Pour un pavé droit : kL×kℓ×kh=k3×(L×ℓ×h)kL \times k\ell \times kh = k^3 \times (L \times \ell \times h). Pour une figure quelconque, on la remplit (presque parfaitement) de tout petits carrés : chacun voit son aire multipliée par k2k^2, donc l’aire totale aussi. Même idée avec de petits cubes pour les volumes.

Exemples pas à pas

La maquette de voiture

Une maquette de voiture est au 1/43 : k=143k = \dfrac{1}{43}. La vraie voiture mesure 4,3 m de long.

  1. Longueur de la maquette : 4,3×143=0,14{,}3 \times \dfrac{1}{43} = 0{,}1 m = 10 cm.
  2. La surface de carrosserie à peindre est divisée par 432=1 84943^2 = 1\,849.
  3. Le volume est divisé par 433=79 50743^3 = 79\,507 : il faudrait près de 80 000 maquettes pour remplir le volume de la vraie voiture !
Le terrain sur la carte

Sur une carte au 1/25 000, un champ rectangulaire mesure 4 cm sur 2 cm. Quelle est son aire réelle ?

  1. Aire sur la carte : 4×2=84 \times 2 = 8 cm².
  2. Passer de la carte à la réalité, c’est un agrandissement de rapport k=25 000k = 25\,000.
  3. Aire réelle : 8×25 0002=8×625 000 000=5 000 000 0008 \times 25\,000^2 = 8 \times 625\,000\,000 = 5\,000\,000\,000 cm² =500 000= 500\,000 m² =50= 50 ha.

On peut aussi calculer les vraies dimensions d’abord : 4 cm → 1 km et 2 cm → 0,5 km, soit 1×0,5=0,51 \times 0{,}5 = 0{,}5 km².

Une section de pyramide

On coupe une pyramide de hauteur 12 cm et de volume 400 cm³ par un plan parallèle à sa base, à 3 cm du sommet. La petite pyramide obtenue au sommet est une réduction de la grande.

  1. Rapport : k=312=14k = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}.
  2. Volume de la petite pyramide : 400×(14)3=400×164=6,25400 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = 400 \times \dfrac{1}{64} = 6{,}25 cm³.
Attention
  • Si on double les longueurs, l’aire n’est pas doublée : elle est multipliée par 4. Et le volume par 8.
  • Inversement, si l’aire est multipliée par 9, les longueurs ne sont multipliées que par 9=3\sqrt{9} = 3.
  • Le rapport kk s’applique aux longueurs correspondantes : compare le côté du petit carré au côté du grand, pas à sa diagonale.
Un peu d’histoire

En 1638, le savant italien Galilée publie ses Discours sur deux sciences nouvelles, où il explique pourquoi les géants ne peuvent pas exister. Si on agrandissait un animal de rapport 10, son volume — donc son poids — serait multiplié par 1 000, mais la section de ses os (une aire) seulement par 100. Chaque cm² d’os devrait supporter 10 fois plus de poids : il se briserait. C’est pour cela qu’un éléphant a des pattes bien plus épaisses, en proportion, qu’une gazelle. On appelle aujourd’hui cette idée la « loi carré-cube ».

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Les cartes et les plans : sur un plan d’appartement au 1/100, une chambre de 3,5 cm × 3 cm correspond à 3,5 m × 3 m, soit 10,5 m². Sur le plan, elle ne fait que 10,5 cm² : l’aire est divisée par 1002=10 000100^2 = 10\,000.
  • La cuisine : une recette prévue pour un moule rond de 20 cm de diamètre doit être multipliée par 1,22=1,441{,}2^2 = 1{,}44 (et pas par 1,2) pour un moule de 24 cm de même hauteur, car c’est la surface du gâteau qui compte.
  • La biologie : si un animal était agrandi 10 fois, son poids (lié au volume) serait multiplié par 1 000, mais la section de ses os (une aire) seulement par 100. C’est pour cela qu’une fourmi géante comme dans les films ne pourrait pas tenir debout, et que les éléphants ont des pattes si épaisses.
  • Le commerce : une boîte de conserve dont toutes les dimensions sont multipliées par 1,26 contient deux fois plus (1,263≈21{,}26^3 \approx 2) mais n’utilise que 1,262≈1,61{,}26^2 \approx 1{,}6 fois plus de métal. Les grands formats sont donc souvent moins chers au litre.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. On agrandit un carré avec un rapport 3. Son aire est multipliée par :

  2. On réduit un cube avec un rapport 1/2. Son volume est multiplié par :

  3. Un rectangle de 4 cm × 6 cm est agrandi avec k = 2,5. Quelle est l’aire du nouveau rectangle (en cm²) ?

  4. Une maquette de la tour Eiffel au 1/500 mesure 66 cm. Quelle est la hauteur réelle de la tour (en m) ?

  5. Une piscine gonflable est agrandie avec un rapport 2 dans toutes les directions. Elle contenait 500 L. Combien contient la grande (en L) ?

  6. L’aire d’une figure a été multipliée par 16. Par combien ses longueurs ont-elles été multipliées ?

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