Translation, rotation et homothétie
Translation, rotation et homothétie en 3e : comprendre chaque transformation, ce qu’elle conserve, et construire l’image d’une figure pas à pas.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : La symétrie centrale , La symétrie axiale , Le théorème de Thalès
Glisser, tourner, agrandir : translation, rotation, homothétie.
Un tapis roulant fait glisser les valises. Une grande roue fait tourner ses nacelles. Un vidéoprojecteur agrandit l’image de ton ordinateur.
Ces trois mouvements sont des transformations du plan, les outils de base des graphistes et des créateurs de jeux vidéo.
Une transformation, c’est quoi ?
Une transformation du plan associe à chaque point un point , appelé image de . L’image d’une figure est formée des images de tous ses points.
Tu connais déjà la symétrie axiale (un pliage) et la symétrie centrale (un demi-tour). Découvrons trois nouvelles transformations.
Manipule les trois transformations
Choisis une transformation, règle son curseur, puis clique sur Animer pour voir la figure bleue se transformer en figure orange. Compare les longueurs, les angles et l’orientation des deux figures.
La translation : glisser
La translation qui transforme en fait glisser toute la figure dans la même direction, dans le même sens et sur la même longueur que de vers .
Si est l’image de , alors est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Sur un plan à l’échelle, un tapis roulant d’aéroport déplace une valise de 6 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut. Pour construire l’image du rectangle qui représente la valise, on déplace chaque sommet de 6 carreaux vers la droite et 2 vers le haut, puis on relie les points obtenus. La valise ne tourne pas et ne change pas de taille.
La rotation : tourner
La rotation de centre et d’angle fait tourner la figure autour du point d’un angle , dans un sens donné (le sens inverse des aiguilles d’une montre est appelé sens direct).
Pour tout point d’image : et .
Une grande roue a 12 nacelles régulièrement réparties. Passer d’une nacelle à la suivante, c’est faire une rotation de centre l’axe de la roue et d’angle . Après 4 « crans », une nacelle a tourné de .
Pour construire l’image d’un point par la rotation de centre et d’angle 120° : trace , place le rapporteur sur , mesure 120° dans le bon sens, puis reporte la longueur au compas.
La rotation de centre et d’angle 180° est un demi-tour : c’est exactement la symétrie centrale de centre .
La translation et la rotation (comme les symétries) conservent les longueurs, les angles, les aires et le parallélisme. La figure image est superposable à la figure de départ : on dit que ce sont des isométries.
Les artisans de l’Alhambra, un palais construit à Grenade, en Espagne, aux XIIIe et XIVe siècles, ont couvert ses murs de mosaïques où un même motif est glissé, tourné et retourné à l’infini. En 1922 puis en 1936, l’artiste néerlandais M. C. Escher visite ce palais et en revient fasciné : il passera sa vie à dessiner des pavages où des oiseaux, des poissons ou des lézards s’emboîtent parfaitement grâce aux translations et aux rotations. Les mathématiciens ont même prouvé (Fedorov en 1891, puis Pólya en 1924) qu’il n’existe que 17 façons différentes de répéter un motif à l’infini dans le plan.
L’homothétie : agrandir ou réduire
L’homothétie de centre et de rapport (un nombre non nul) transforme un point en un point aligné avec et tel que :
- si : est du même côté que par rapport à et ;
- si : est de l’autre côté de et .
- Les longueurs sont multipliées par (la valeur de sans son signe).
- Les aires sont multipliées par .
- Les angles et le parallélisme sont conservés : la figure garde la même forme.
Si , c’est un agrandissement ; si , une réduction.
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture
Pourquoi les aires sont-elles multipliées par ? Prends un carré de côté : son aire est . Par une homothétie de rapport , il devient un carré de côté , dont l’aire vaut
L’aire est bien multipliée par . Pour une figure quelconque, on la recouvre par de minuscules carreaux : chacun voit son aire multipliée par , donc la figure entière aussi. Avec , il faut 4 carreaux pour couvrir l’image d’un seul carreau.
Un vidéoprojecteur est placé en . Une image de 4 cm de large, à 5 cm de la lentille, est projetée sur un mur à 2,5 m = 250 cm de la lentille.
- C’est une homothétie de centre de rapport (en réalité le rapport est négatif, car l’image se retourne dans l’objectif ; c’est pourquoi la diapositive est placée à l’envers).
- Largeur de l’image sur le mur : cm = 2 m.
- L’aire est multipliée par .
- Une translation ne fait pas tourner la figure ; une rotation ne la déplace pas en ligne droite.
- Le rapport d’une homothétie se lit sur des distances au centre : (avec un signe moins si est de l’autre côté de ).
- Une homothétie de rapport est une symétrie centrale.
- Avec une homothétie, les aires ne sont pas multipliées par , mais par .
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- Les jeux vidéo : chaque image d’un jeu est calculée en appliquant à des milliers de points des translations (le personnage avance de 3 pixels vers la droite), des rotations (il pivote de 15°) et des homothéties (un objet lointain est affiché 2 fois plus petit), 60 fois par seconde.
- La photographie et le cinéma : un vidéoprojecteur ou un objectif réalise une homothétie. Pour passer d’une image de 2 m de large à une image de 3 m, on recule le projecteur pour multiplier le rapport par 1,5 ; l’image est alors 2,25 fois plus étendue, donc moins lumineuse.
- L’industrie : un robot de soudure sur une chaîne de montage enchaîne des translations (il avance de 40 cm le long de la carrosserie) et des rotations (son bras pivote de 90°). Ses déplacements sont programmés exactement avec ces transformations.
- Le design et les frises : les motifs des papiers peints, des carrelages et des frises sont créés en répétant un motif par translation (tous les 25 cm) ou par rotation (une rosace à 8 branches est une rotation de 45° répétée 8 fois).