3e 📐 Géométrie Étape 23 / 27 du parcours

Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente

Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle : côté adjacent, côté opposé, CAH SOH TOA et calculs à la calculatrice.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, un angle et une longueur suffisent pour trouver les autres.

Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur et fait un angle de 70° avec le sol. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

Pythagore aurait besoin de deux longueurs. La trigonométrie se contente d’une longueur et d’un angle : ${5 \times \sin 70° \approx 4{,}7}$ m.

Les trois côtés vus depuis un angle

La trigonométrie se fait dans un triangle rectangle. On choisit un des deux angles aigus (celui qui nous intéresse) et on nomme les côtés par rapport à cet angle.

Hypoténuse, côté adjacent, côté opposé

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on regarde l’angle $\widehat{A}$ :

l’hypoténuse est le côté en face de l’angle droit : $[AB]$ ;
le côté adjacent à $\widehat{A}$ est le côté de l’angle droit qui touche $A$ : $[AC]$ ;
le côté opposé à $\widehat{A}$ est le côté en face de $A$ : $[BC]$ .

Attention : si on regarde l’autre angle aigu $\widehat{B}$ , le côté adjacent et le côté opposé échangent leurs rôles. L’hypoténuse, elle, ne change jamais.

Les trois rapports

Cosinus, sinus et tangente

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$ :

\cos \widehat{A} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}

\sin \widehat{A} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}

\tan \widehat{A} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}

Un peu d’histoire

La trigonométrie est née de l’astronomie. Vers le IIe siècle av. J.-C., le Grec Hipparque construit une table de « cordes » pour calculer la position des étoiles : on le considère souvent comme le père de la trigonométrie. Les astronomes indiens transforment ensuite ces cordes en demi-cordes, qu’ils appellent jiva. Les savants arabes reprennent le mot en jiba, qui s’écrit sans voyelles en arabe ; au XIIe siècle, un traducteur latin (on cite souvent Gérard de Crémone) le lit jaib, qui veut dire « pli » ou « poche », et le traduit en latin par sinus… qui veut dire la même chose ! Voilà pourquoi une notion de géométrie porte le nom d’un pli de vêtement.

CAH SOH TOA

Pour retenir les formules, dis « CAH SOH TOA » (comme « casse-toi ! ») :

Cosinus = Adjacent / Hypoténuse ;
Sinus = Opposé / Hypoténuse ;
Tangente = Opposé / Adjacent.

Le cosinus ne dépend que de l’angle

Voici l’idée la plus importante de la leçon. Utilise le curseur Taille : le triangle grandit ou rétrécit, les longueurs changent… mais le cosinus, le sinus et la tangente restent exactement les mêmes. Change ensuite l’angle : cette fois, les trois rapports bougent.

Pourquoi ? Deux triangles rectangles qui ont le même angle aigu ont la même forme : l’un est un agrandissement de l’autre (c’est le théorème de Thalès qui le prouve). Les rapports entre leurs côtés sont donc les mêmes. Voilà pourquoi ta calculatrice peut te donner $\cos 35°$ sans connaître ton triangle !

Tu as sans doute remarqué aussi que le cosinus et le sinus sont toujours entre 0 et 1 : normal, l’hypoténuse est le plus long côté, donc on divise un nombre par un nombre plus grand.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Une formule cachée : $(\cos \widehat{A})^2 + (\sin \widehat{A})^2 = 1$ . Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ :

(\cos \widehat{A})^2 + (\sin \widehat{A})^2 = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1

grâce au théorème de Pythagore ( $AC^2 + BC^2 = AB^2$ ). On montre de la même façon que $\tan \widehat{A} = \dfrac{\sin \widehat{A}}{\cos \widehat{A}}$ , car $\dfrac{BC/AB}{AC/AB} = \dfrac{BC}{AC}$ . Essaie avec ta calculatrice : $(\cos 35°)^2 + (\sin 35°)^2 = 1$ .

Calculer une longueur

Exemple 1 : l’échelle

L’échelle $[AB]$ mesure 5 m, le pied $A$ est au sol, le haut $B$ contre le mur, et $C$ est le pied du mur. Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et $\widehat{A} = 70°$ . Calculons la hauteur $BC$ .

Par rapport à $\widehat{A}$ : on connaît l’hypoténuse $AB = 5$ et on cherche le côté opposé $BC$ .
Opposé et hypoténuse → SOH : $\sin \widehat{A} = \dfrac{BC}{AB}$
$\sin 70° = \dfrac{BC}{5}$ , donc $BC = 5 \times \sin 70°$
À la calculatrice (en degrés) : $BC \approx 4{,}7$ m.

Exemple 2 : la rampe de skate (longueur au dénominateur)

Une rampe de skate monte à 6 dm de haut et fait un angle de 40° avec le sol. Quelle longueur au sol occupe-t-elle ?

On nomme $E$ le bas de la rampe, $F$ son sommet et $G$ le point du sol sous $F$ . $EFG$ est rectangle en $G$ , avec $\widehat{E} = 40°$ et $FG = 6$ dm. Calculons $EG$ .

Par rapport à $\widehat{E}$ : $[FG]$ est le côté opposé, $[EG]$ le côté adjacent.
Opposé et adjacent → TOA : $\tan 40° = \dfrac{6}{EG}$
Donc $EG = \dfrac{6}{\tan 40°} \approx 7{,}2$ dm. La rampe occupe environ 72 cm au sol.

Calculer un angle

Si tu connais deux côtés, tu peux retrouver l’angle avec les touches $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de la calculatrice (souvent écrites « Arccos », « Arcsin », « Arctan », ou obtenues avec la touche « 2nde » ou « SHIFT »).

Exemple 3 : retrouver l’angle

$ABC$ est rectangle en $C$ , avec $AC = 4$ cm et $AB = 8$ cm. Calculons $\widehat{A}$ .

$[AC]$ est adjacent à $\widehat{A}$ et $[AB]$ est l’hypoténuse → CAH.
$\cos \widehat{A} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$
$\widehat{A} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°$ .

Les pièges à éviter

Attention

Ces formules ne marchent que dans un triangle rectangle, et seulement pour un angle aigu, jamais pour l’angle droit.
Repère toujours l’angle avant de nommer les côtés adjacent et opposé.
Vérifie que ta calculatrice est en mode degrés (un petit « D » ou « DEG » s’affiche à l’écran).
Un cosinus ou un sinus plus grand que 1 ? C’est le signe d’une erreur : tu as sûrement inversé le numérateur et le dénominateur.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Sur la route : un panneau « 10 % » signifie que la route monte de 10 m pour 100 m à l’horizontale. L’angle de la pente vaut $\tan^{-1}(0{,}1) \approx 5{,}7°$ .
Chez les pompiers : une grande échelle de 30 m inclinée à 70° atteint une hauteur de $30 \times \sin 70° \approx 28$ m, environ le 9ᵉ étage.
En aviation : un avion décolle avec un angle de 15°. Après 2 000 m parcourus en ligne droite, il est à $2\,000 \times \sin 15° \approx 518$ m d’altitude.
Pour mesurer une hauteur inaccessible : placé à 50 m d’une tour, tu vois son sommet sous un angle de 30°. Elle mesure environ $50 \times \tan 30° \approx 29$ m (plus la hauteur de tes yeux).
Pour l’accessibilité : une rampe pour fauteuil roulant ne doit pas dépasser environ 5 % de pente, soit un angle d’à peine 3°.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

ABC est rectangle en C. Quel est le côté adjacent à l’angle A ?
Que vaut le sinus d’un angle aigu ?
Le côté adjacent mesure 3 cm et l’hypoténuse 5 cm. Que vaut le cosinus de l’angle ?
On agrandit un triangle rectangle : toutes ses longueurs sont multipliées par 2. Que devient le cosinus de l’angle aigu ?
Le fil tendu d’un cerf-volant mesure 10 m et fait un angle de 30° avec le sol. À quelle hauteur au-dessus de la main se trouve le cerf-volant (en m) ? (sin 30° = 0,5)
Un chemin de montagne monte de 4 m pour 4 m parcourus à l’horizontale. Quel angle (en degrés) fait-il avec l’horizontale ?