2nde 📐 Géométrie Étape 24 / 27 du parcours

Les vecteurs

Les vecteurs en 2nde : direction, sens et norme, égalité, somme avec la relation de Chasles et la règle du parallélogramme, et calculs en coordonnées.

Un vecteur, c’est une flèche : une direction, un sens et une longueur.

Sur un plan de métro, « 3 stations vers le nord-est » dit trois choses : la direction, le sens et la distance.

Une simple distance ne suffit pas. Cette flèche s’appelle un vecteur : forces en physique, déplacements dans les jeux vidéo, preuves en géométrie… on s’en sert partout.

Translation et vecteur

Faire glisser une figure sans la tourner ni la déformer, c’est lui appliquer une translation. Si la translation envoie le point $A$ sur le point $B$ , on dit qu’elle est de vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Définition

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par :

sa direction : celle de la droite $(AB)$ ;
son sens : de $A$ vers $B$ ;
sa norme (sa longueur) : la distance $AB$ , notée $\|\overrightarrow{AB}\|$ .

On le représente par une flèche qui part de $A$ et arrive en $B$ . Quand on ne veut pas nommer de points, on écrit simplement $\vec{u}$ .

Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ ne déplace rien : c’est le vecteur nul, noté $\vec{0}$ . Et $\overrightarrow{BA}$ a la même direction et la même norme que $\overrightarrow{AB}$ , mais le sens contraire : c’est l’opposé de $\overrightarrow{AB}$ , noté $-\overrightarrow{AB}$ .

Un peu d’histoire

Bien avant le mot « vecteur », les physiciens savaient additionner des flèches : dans ses Principia (1687), Isaac Newton explique que deux forces qui tirent un objet dans deux directions se combinent selon la diagonale d’un parallélogramme. Le mot « vecteur », du latin vehere (« transporter »), est employé dans les années 1840 par l’Irlandais William Rowan Hamilton. À la même époque, l’Allemand Hermann Grassmann, professeur de lycée, invente un calcul géométrique très proche… que presque personne ne comprend de son vivant. La relation de Chasles, elle, porte le nom du géomètre français Michel Chasles (XIX^e siècle).

Deux vecteurs égaux

Deux flèches placées à des endroits différents peuvent représenter le même vecteur. Ce qui compte, ce n’est pas où la flèche est dessinée, mais le déplacement qu’elle décrit.

Vecteurs égaux et parallélogramme

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ signifie que les deux vecteurs ont même direction, même sens et même norme.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Attention

L’ordre des lettres compte ! Dans le parallélogramme $ABCD$ , on a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , mais $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$ : ces deux vecteurs sont opposés.

Additionner deux vecteurs

Enchaîner deux translations revient à faire une seule translation. Aller de $A$ à $B$ , puis de $B$ à $C$ , c’est la même chose qu’aller directement de $A$ à $C$ .

Relation de Chasles

Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ :

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Pour additionner deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dessinés au même point de départ $A$ , il y a donc deux méthodes :

Bout à bout (Chasles) : on fait glisser $\vec{v}$ pour qu’il parte de l’extrémité $B$ de $\vec{u}$ . La somme va de $A$ jusqu’au bout de cette flèche.
Règle du parallélogramme : on construit le parallélogramme dont deux côtés sont $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . La somme est sa diagonale issue de $A$ .

Les deux constructions donnent le même point $C$ . Attrape l’extrémité de $\vec{u}$ (bleu) ou de $\vec{v}$ (vert) et déplace-la sur le quadrillage. Appuie sur ▶ pour voir les flèches glisser et la somme se construire.

Observe les coordonnées sous la figure : celles de $\vec{u} + \vec{v}$ s’obtiennent en additionnant celles de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$ . C’est la clé du calcul vectoriel.

Les vecteurs en coordonnées

Dans un repère, un vecteur se résume à deux nombres : de combien on se déplace horizontalement, et de combien verticalement.

Coordonnées d’un vecteur

Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ , alors :

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ , alors $\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}$ et, pour tout réel $k$ , $k\vec{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$ .

Dans un repère orthonormé, la norme de $\vec{u}$ vaut $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi additionne-t-on les coordonnées ? Représente $\vec{u}$ par $\overrightarrow{AB}$ , puis $\vec{v}$ en partant de $B$ : $\vec{v} = \overrightarrow{BC}$ . D’après la relation de Chasles, $\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AC}$ . Son abscisse vaut :

x_C - x_A = (x_B - x_A) + (x_C - x_B) = x + x'

(on a simplement ajouté puis retiré $x_B$ ). De même pour l’ordonnée : $y_C - y_A = (y_B - y_A) + (y_C - y_B) = y + y'$ .

Exemple : la carte d’un jeu vidéo

Sur la carte d’un jeu vidéo (repère orthonormé, unité : le mètre), ton personnage est en $A(1 ; 2)$ , un coffre en $B(4 ; 6)$ et une porte en $C(-2 ; 3)$ . Calculons $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ et la distance $AB$ jusqu’au coffre.

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 6 - 2 \end{pmatrix}$ , soit $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix}$ , soit $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 + (-3) \\ 4 + 1 \end{pmatrix}$ , soit $\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ .
Le repère est orthonormé : $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ . Le coffre est à 5 m du personnage : c’est exactement ce calcul que fait le moteur du jeu pour savoir s’il est « à portée ».

Exemple : trouver le quatrième sommet

Avec les mêmes points, on cherche $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme, c’est-à-dire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

On note $D(x ; y)$ . Alors $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x + 2 \\ y - 3 \end{pmatrix}$ .
On veut $x + 2 = 3$ et $y - 3 = 4$ .
Donc $x = 1$ et $y = 7$ : $D(1 ; 7)$ .

Multiplier un vecteur par un réel

Le vecteur $2\vec{u}$ a la même direction et le même sens que $\vec{u}$ , mais il est deux fois plus long. Le vecteur $-\vec{u}$ a la même longueur que $\vec{u}$ , mais le sens contraire. Deux vecteurs sont colinéaires quand l’un est un multiple de l’autre : ils ont alors la même direction. C’est ainsi qu’on démontre que des droites sont parallèles ou que des points sont alignés.

Bien soustraire les coordonnées

Pour $\overrightarrow{AB}$ , c’est toujours « arrivée moins départ » : $x_B - x_A$ , jamais l’inverse. Une erreur d’ordre donne l’opposé du bon vecteur.

Les pièges classiques

La norme de $\vec{u} + \vec{v}$ n’est pas la somme des normes : en général, $\|\vec{u} + \vec{v}\| \lt \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$ (le chemin direct est plus court).
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$ : un aller-retour ne déplace rien.
La relation de Chasles ne s’applique que si l’extrémité du premier vecteur est l’origine du second : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ ne se simplifie pas directement.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En aviation et en navigation : un avion qui vole à 800 km/h vers l’est subit un vent de 100 km/h vers le nord. Sa vitesse réelle est la somme des deux vecteurs, de norme $\sqrt{800^2 + 100^2} \approx 806$ km/h, et il dérive vers le nord-est : le pilote doit corriger son cap.
En physique : les forces sont des vecteurs. Deux enfants qui tirent une luge avec des forces de 30 N et 40 N à angle droit produisent une force totale de $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ N, et non 70 N.
Dans les jeux vidéo : à chaque image (60 fois par seconde), le moteur ajoute le vecteur vitesse à la position de chaque personnage. Une vitesse de $(3 ; 0)$ pixels par image fait avancer de 180 pixels par seconde.
Pour le GPS : ton téléphone calcule ton déplacement comme un vecteur entre deux positions. S’il mesure $(300 ; 400)$ m en une minute, tu as parcouru 500 m, soit une vitesse de 30 km/h.
En robotique : un bras robotisé atteint un point en enchaînant les vecteurs de ses segments, exactement comme la relation de Chasles.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

D’après la relation de Chasles, vecteur AB + vecteur BC est égal à :
Un drone effectue le déplacement u(3 ; −2), puis le déplacement v(−1 ; 5), en mètres. Quelle est l’abscisse de son déplacement total u + v ?
A(2 ; 5) et B(−1 ; 3). Quelle est l’ordonnée du vecteur AB ?
Sur une carte en repère orthonormé (unité : le km), un randonneur est en A(1 ; 2) et le refuge en B(4 ; 6). À quelle distance à vol d’oiseau est le refuge (en km) ?
On sait que vecteur AB = vecteur DC. Que peut-on dire du quadrilatère ABCD ?
Que vaut vecteur AB + vecteur BA ?