2nde 📐 Géométrie Étape 25 / 27 du parcours

Milieu et distance dans un repère

Milieu et distance dans un repère orthonormé : formules des coordonnées du milieu et de la longueur AB, démonstration et méthodes en géométrie.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le repérage dans le plan , Le théorème de Pythagore , Les racines carrées

Avec les coordonnées de deux points, on calcule leur milieu et leur distance.

Dans un jeu vidéo, ton personnage est en $(120 ; 45)$ et un coffre au trésor en $(300 ; 285)$ . Est-il à portée ? Où placer une caméra pile entre les deux ?

L’ordinateur ne sort ni règle ni compas : il calcule avec les coordonnées. Tu vas faire comme lui, avec deux formules courtes.

Le cadre : un repère orthonormé

Repère orthonormé

Un repère $(O ; I, J)$ est orthonormé si les axes sont perpendiculaires et si les unités sont les mêmes sur les deux axes ( $OI = OJ$ ). C’est le repère d’une feuille quadrillée à petits carreaux.

La formule du milieu marche dans n’importe quel repère. Celle de la distance, elle, exige un repère orthonormé : sinon, Pythagore ne s’applique plus (axes non perpendiculaires) ou les unités ne se comparent plus.

Manipule avant de calculer

Déplace les points $A$ et $B$ . Observe : l’abscisse de $M$ est toujours « au milieu » des abscisses de $A$ et $B$ , et la longueur $AB$ est l’hypoténuse du triangle rectangle orange.

Les deux formules

Coordonnées du milieu

Soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ . Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :

x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \qquad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}

Autrement dit : les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées.

Distance entre deux points (repère orthonormé)

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Démonstration des deux formules— facultatif, à sauter en première lecture

Distance. Plaçons le point $C(x_B ; y_A)$ . Le segment $[AC]$ est horizontal et $[CB]$ vertical : comme le repère est orthonormé, le triangle $ACB$ est rectangle en $C$ , avec $AC = |x_B - x_A|$ et $CB = |y_B - y_A|$ . D’après le théorème de Pythagore :

AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2

Les valeurs absolues disparaissent car un carré est toujours positif, et on prend la racine carrée car $AB \geq 0$ .

Milieu. Avec les vecteurs : $M$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ . En coordonnées, $x_M - x_A = \dfrac{1}{2}(x_B - x_A)$ , d’où $x_M = x_A + \dfrac{x_B - x_A}{2} = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ . Même calcul pour $y_M$ .

Exemples résolus

La caméra et le coffre

Sur l’écran d’un jeu, le personnage est en $A(120 ; 45)$ et le coffre en $B(300 ; 285)$ (en pixels, repère orthonormé). Le coffre s’ouvre si la distance est inférieure à 250 pixels. Où centrer la caméra entre les deux, et le coffre s’ouvre-t-il ?

Milieu : $x_M = \dfrac{120 + 300}{2} = 210$ et $y_M = \dfrac{45 + 285}{2} = 165$ . La caméra se centre en $M(210 ; 165)$ .
Écarts : $x_B - x_A = 180$ et $y_B - y_A = 240$ .
Distance : $AB = \sqrt{180^2 + 240^2} = \sqrt{32\,400 + 57\,600} = \sqrt{90\,000} = 300$ pixels.
$300 > 250$ : il faut encore s’approcher !

Prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Soient $A(-1 ; 2)$ , $B(3 ; 3)$ , $C(4 ; -1)$ et $D(0 ; -2)$ . $ABCD$ est-il un parallélogramme ?

Méthode : un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu.

Milieu de $[AC]$ : $\left(\dfrac{-1 + 4}{2} ; \dfrac{2 + (-1)}{2}\right) = (1{,}5 ; 0{,}5)$ .
Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{3 + 0}{2} ; \dfrac{3 + (-2)}{2}\right) = (1{,}5 ; 0{,}5)$ .

Même milieu : $ABCD$ est un parallélogramme. Bonus : $AC = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$ et $BD = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$ . Diagonales de même longueur : c’est même un rectangle. Et comme $AB = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$ et $BC = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}$ , deux côtés consécutifs sont égaux : c’est un carré !

Les méthodes à connaître

Parallélogramme : les diagonales ont le même milieu.
Triangle isocèle : deux distances égales.
Triangle rectangle : on calcule les trois longueurs au carré et on teste la réciproque de Pythagore (souvent, pas besoin de racine carrée !).
Cercle : un point $P$ est sur le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$ si et seulement si $\Omega P = r$ .

Les pièges

Les signes : avec $x_A = -3$ et $x_B = 2$ , l’écart vaut $2 - (-3) = 5$ , pas $-1$ . Mets des parenthèses !
La racine : $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ . Par exemple $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , et pas 7.
Le milieu : on fait la moyenne (on additionne), pas la différence.

Descartes, la mouche et le plafond

On attribue à René Descartes (et, en même temps, à Pierre de Fermat) l’idée géniale de décrire les points par des nombres : c’est la « géométrie analytique », publiée par Descartes en 1637 dans La Géométrie. Une légende tenace raconte qu’il aurait eu l’idée, couché dans son lit, en regardant une mouche se promener au plafond : sa position pouvait se décrire par ses distances à deux murs ! Vraie ou pas, l’anecdote dit l’essentiel : avec un repère, les problèmes de géométrie deviennent des calculs. C’est en hommage à Descartes que l’on parle de coordonnées cartésiennes.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Jeux vidéo : à chaque image (60 fois par seconde), le moteur du jeu calcule des milliers de distances entre personnages, projectiles et obstacles pour détecter les collisions. Deux balles de rayon 10 pixels se touchent dès que la distance entre leurs centres est inférieure à 20.
Cartographie et GPS : sur une carte quadrillée en kilomètres, entre un point en $(2 ; 7)$ et un autre en $(14 ; 12)$ , il y a $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ km à vol d’oiseau. Les applications de navigation font ce calcul (en plus précis) des millions de fois par jour.
Urbanisme : pour installer un abri bus à mi-chemin entre deux arrêts placés en $(0{,}4 ; 1{,}2)$ et $(2{,}6 ; 3{,}0)$ sur un plan en km, on vise le milieu $(1{,}5 ; 2{,}1)$ .
Intelligence artificielle : la méthode des « plus proches voisins » classe un objet (une image, un client, une fleur) en calculant sa distance aux exemples connus, avec la même formule étendue à plus de deux coordonnées.
Robotique : un robot aspirateur qui connaît sa position $(1{,}2 ; 0{,}5)$ et celle de sa base $(4{,}2 ; 4{,}5)$ (en mètres) sait qu’il doit parcourir au moins $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m pour rentrer se recharger.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est l’abscisse du milieu de [AB] avec A(−2 ; 5) et B(6 ; 1) ?
Quelle est l’ordonnée de ce même milieu ?
Dans un repère orthonormé, A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Combien vaut AB ?
La formule de la distance AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) nécessite un repère :
Sur un plan en mètres (repère orthonormé), un drone part de (−3 ; 1) et vole en ligne droite jusqu’à (5 ; 7). Quelle distance parcourt-il (en m) ?
Deux amis habitent en A(1 ; 8) et B(7 ; 2) sur un plan en km. Ils se donnent rendez-vous à mi-chemin. Quelle est la somme des coordonnées du point de rendez-vous ?