2nde 📈 Fonctions Étape 5 / 23 du parcours

La fonction inverse

La fonction inverse en 2nde : définition de f(x) = 1/x, courbe en hyperbole, décroissance sur chaque intervalle, symétrie et comparaison d’inverses.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : La notion de fonction , Fonctions linéaires et fonctions affines

La fonction inverse donne 1 sur x : plus x grandit, plus le résultat rapetisse.

Une pizza partagée entre 2 : chacun a $\frac{1}{2}$ de pizza. Entre 4 : $\frac{1}{4}$ . Entre 10 : $\frac{1}{10}$ .

Plus on est nombreux, plus la part est petite, sans jamais devenir nulle. C’est la fonction inverse, une fonction de référence à connaître par cœur en seconde.

Définition

La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$ par :

f(x) = \frac{1}{x}

Le nombre 0 est exclu : on ne peut pas diviser par 0. C’est la grande différence avec les fonctions affines ou la fonction carré, définies sur tout $\mathbb{R}$ .

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$-0{,}5$	$0{,}25$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$
$\dfrac{1}{x}$	$-0{,}25$	$-0{,}5$	$-1$	$-2$	$4$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0{,}25$

La courbe : une hyperbole

La courbe de la fonction inverse s’appelle une hyperbole. Elle a deux morceaux, appelés branches : une pour $x > 0$ , une pour $x < 0$ . Elle s’approche des axes sans jamais les toucher.

Fais glisser le point $M$ sur la courbe (ou appuie sur ▶). Le rectangle orange a pour côtés $x$ et $\frac{1}{x}$ : son aire vaut donc toujours $x \times \frac{1}{x} = 1$ . Quand il devient très large, il devient très plat, et inversement. Le point violet $M'$ montre la symétrie de la courbe.

Un peu d’histoire

Le mot « hyperbole » vient du grec hyperbolê, « excès ». Vers 200 av. J.-C., Apollonius de Perge étudie dans son grand traité Les Coniques les courbes obtenues en coupant un cône par un plan, et leur donne les noms qu’on utilise encore : ellipse, parabole et hyperbole. Il ne se doutait pas que l’hyperbole décrirait un jour une loi de la nature ! En 1662, le physicien irlandais Robert Boyle emprisonne de l’air dans un tube en forme de J à l’aide de mercure : quand il divise le volume par deux, la pression double. La pression est proportionnelle à l’inverse du volume… et la courbe pression-volume est une branche d’hyperbole.

Les propriétés à retenir

Variations de la fonction inverse

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et strictement décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$\frac{1}{x}$		↘	‖	↘

La double barre ‖ indique que la fonction n’est pas définie en 0.

Pourquoi ? Prenons $0 < a < b$ . Alors $\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - a}{ab}$ . Le numérateur $b - a$ est positif, le dénominateur $ab$ aussi : la différence est positive, donc $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ . Les images sont rangées dans l’ordre contraire des nombres : la fonction est décroissante. Le même calcul marche avec $a < b < 0$ , car $ab$ est encore positif.

Signe et symétrie

$\dfrac{1}{x}$ a le même signe que $x$ : positif pour $x > 0$ , négatif pour $x < 0$ .
Pour tout $x \neq 0$ , $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$ : la fonction est impaire, et l’hyperbole est symétrique par rapport à l’origine $O$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : comparer sans calculatrice

Comparer $\dfrac{1}{3{,}7}$ et $\dfrac{1}{3{,}8}$ .

$0 < 3{,}7 < 3{,}8$ et la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ , donc l’ordre s’inverse : $\dfrac{1}{3{,}7} > \dfrac{1}{3{,}8}$ .

Exemple 2 : la durée d’un chantier

Repeindre une école demande 120 heures de travail. Avec $n$ peintres, la durée est $D(n) = \dfrac{120}{n} = 120 \times \dfrac{1}{n}$ heures.

Avec 4 peintres : $D(4) = 30$ h. Avec 8 peintres : $D(8) = 15$ h. Doubler l’équipe divise la durée par 2.
Pour finir en moins de 20 h, il faut $\dfrac{120}{n} < 20$ , soit $n > 6$ (on multiplie par $n > 0$ puis on divise par 20) : il faut au moins 7 peintres.

Exemple 3 : encadrer un inverse

On sait que $2 \leqslant x \leqslant 5$ . Que dire de $\dfrac{1}{x}$ ?

Tous les nombres sont positifs et la fonction est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ : on prend les inverses en retournant les inégalités. Donc $\dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}$ , c’est-à-dire $0{,}2 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 0{,}5$ .

Les pièges classiques

Faux : « la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ ». En effet $-1 < 1$ et pourtant $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$ : l’ordre est conservé ! Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles, séparément.
On ne peut retourner l’inégalité en passant à l’inverse que si les nombres ont le même signe.
L’inverse de $x$ ( $\frac{1}{x}$ ) n’est pas l’opposé de $x$ ( $-x$ ).
$\frac{1}{x}$ n’est jamais égal à 0 : l’équation $\frac{1}{x} = 0$ n’a pas de solution.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Trajets : pour parcourir 120 km, la durée est $t = \dfrac{120}{v}$ . À 60 km/h il faut 2 h, à 120 km/h seulement 1 h, mais passer de 120 à 130 km/h ne fait gagner que 5 minutes environ.
Photographie : la vitesse d’obturation s’écrit $\frac{1}{125}$ s, $\frac{1}{250}$ s, $\frac{1}{500}$ s… Doubler le nombre en bas divise par 2 le temps de pose, donc la lumière qui entre dans l’appareil.
Électricité : avec une tension de 230 V, l’intensité vaut $I = \dfrac{230}{R}$ (loi d’Ohm). Une résistance de 46 Ω laisse passer 5 A ; si on double la résistance, le courant est divisé par 2.
Optique : la puissance d’un verre de lunettes, en dioptries, est l’inverse de sa distance focale en mètres. Une lentille de focale 0,25 m a une puissance de $\frac{1}{0{,}25} = 4$ dioptries.
Physique des gaz : à température constante, le volume d’un gaz est proportionnel à $\frac{1}{P}$ . C’est pour ça qu’un ballon de baudruche gonfle quand il monte en altitude, là où la pression baisse.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est l’image de 0,2 par la fonction inverse ?
Sur quel ensemble la fonction inverse est-elle définie ?
Si 4 ≤ x ≤ 10, alors 1/x est compris entre :
La phrase « −2 < 3 donc 1/(−2) > 1/3 » est :
Un trajet de 150 km est parcouru à la vitesse constante de 75 km/h. Combien d’heures dure-t-il ?
Une lentille a une distance focale de 0,5 m. Quelle est sa puissance en dioptries (inverse de la focale) ?