3e 📈 Fonctions Étape 3 / 23 du parcours

La notion de fonction

La notion de fonction expliquée avec une machine à nombres : image, antécédent, notation f(x), tableau de valeurs et représentation graphique.

Une fonction est une machine : un nombre entre, un seul nombre sort.

En taxi, le prix dépend des kilomètres : 2 € par km, plus 3 € de départ.

Pour 4 km, la machine calcule 2 × 4 + 3 = 11 €. On écrit $f(4) = 11$ .

Une machine à transformer les nombres

Imagine une machine. Tu mets un nombre à l’entrée, la machine applique toujours la même règle, et un nombre sort de l’autre côté. Par exemple, la règle « multiplier par 2 puis ajouter 1 » :

si tu mets 3, il sort $2 \times 3 + 1 = 7$ ;
si tu mets 0, il sort $1$ ;
si tu mets $-2$ , il sort $-3$ .

Fonction

Une fonction est un procédé qui, à un nombre $x$ , associe un seul nombre, noté $f(x)$ (on lit « f de x »).

On écrit : $f : x \longmapsto 2x + 1$ ou bien $f(x) = 2x + 1$ .

Un peu d’histoire

Le mot « fonction » apparaît sous la plume du savant allemand Leibniz à la fin du XVIIe siècle. Vers 1734, le Suisse Leonhard Euler a l’idée d’écrire $f(x)$ : une notation si pratique qu’on l’utilise encore dans le monde entier. Pendant longtemps, une fonction était forcément une formule de calcul. Puis, en 1837, l’Allemand Dirichlet propose une idée plus large : une fonction, c’est n’importe quelle règle qui associe un seul nombre à chaque nombre, même sans formule. C’est exactement la définition que tu viens de lire !

Le point important, c’est le mot « un seul » : quand on met un nombre dans la machine, il ne peut pas sortir deux résultats différents.

Essaie la machine

Choisis une fonction, tape un nombre $x$ entre $-3$ et $3$ , puis appuie sur ▶ Envoyer. Regarde le nombre traverser la machine : il ressort transformé, le résultat s’écrit dans le tableau de valeurs et un point apparaît dans le repère. Envoie plusieurs nombres à la suite, puis clique sur « Tracer la courbe » pour voir tous les points possibles.

x
f(x)

Image et antécédent

Deux mots reviennent tout le temps avec les fonctions. Ils décrivent le sens du trajet dans la machine.

Image et antécédent

Si $f(3) = 7$ :

$7$ est l’image de $3$ par la fonction $f$ (c’est ce qui sort) ;
$3$ est un antécédent de $7$ par la fonction $f$ (c’est ce qui entre).

Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, ou même aucun. Avec la fonction $g(x) = x^2$ : $g(3) = 9$ et $g(-3) = 9$ . Donc $9$ a deux antécédents, $3$ et $-3$ . Et $-4$ n’a aucun antécédent, car un carré n’est jamais négatif.

Le stand de limonade : calculer une image

Sami loue un stand 5 € pour la journée et gagne 3 € par verre de limonade vendu. Son bénéfice, en euros, pour $x$ verres vendus est $f(x) = 3x - 5$ . Calculons l’image de $4$ , puis celle de $1$ .

On remplace $x$ par $4$ : $f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$ .
On remplace $x$ par $1$ : $f(1) = 3 \times 1 - 5 = 3 - 5 = -2$ .

L’image de $4$ est $7$ : avec 4 verres vendus, Sami gagne 7 €. L’image de $1$ est $-2$ : avec un seul verre, il perd 2 €.

Chercher un antécédent

Toujours avec $f(x) = 3x - 5$ : combien de verres Sami doit-il vendre pour gagner 10 € ? On cherche un antécédent de $10$ . On cherche $x$ tel que $f(x) = 10$ , donc on résout une équation :

3x - 5 = 10 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 15 \quad\Longrightarrow\quad x = 5

Vérification : $f(5) = 15 - 5 = 10$ . ✔ Donc $5$ est un antécédent de $10$ : il faut vendre 5 verres.

Le tableau de valeurs

Pour avoir une vue d’ensemble, on range plusieurs entrées et leurs sorties dans un tableau de valeurs. Voici celui de $f(x) = 2x + 1$ :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$-3$	$-1$	$1$	$3$	$5$	$7$

Sur la première ligne, on lit les antécédents ; sur la deuxième, les images. Par exemple, dans la colonne de $2$ , on lit $f(2) = 5$ .

La représentation graphique

Chaque colonne du tableau donne un point de coordonnées $(x \,;\, f(x))$ : l’entrée se lit sur l’axe horizontal (axe des abscisses), la sortie sur l’axe vertical (axe des ordonnées). En plaçant énormément de points, on obtient une ligne : la courbe représentative de la fonction, souvent notée $\mathcal{C}_f$ .

Lire un graphique

Un point $M(x \,;\, y)$ est sur la courbe de $f$ si et seulement si $y = f(x)$ .

Pour lire l’image d’un nombre : on part de ce nombre sur l’axe des abscisses, on monte (ou on descend) jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée.
Pour lire les antécédents d’un nombre : on part de ce nombre sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à la courbe, puis on lit les abscisses.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi un cercle n’est-il pas la courbe d’une fonction ? Trace une droite verticale qui coupe le cercle : elle le rencontre en deux points, qui ont la même abscisse $x$ mais deux ordonnées différentes.

Si le cercle était la courbe d’une fonction $f$ , ces deux ordonnées seraient toutes les deux égales à $f(x)$ . Or un nombre n’a qu’une seule image : c’est impossible. On en tire un test : une courbe représente une fonction seulement si chaque droite verticale la coupe au plus une fois.

Dans le widget, les pointillés violets montrent justement ce trajet pour le dernier point placé.

Les pièges à éviter

Attention

$f(x)$ n’est pas « $f$ multiplié par $x$ » : c’est le nom du nombre qui sort de la machine quand on y met $x$ .
Ne confonds pas image et antécédent : l’image, c’est la sortie ; l’antécédent, c’est l’entrée.
On dit « **l’**image » (il n’y en a qu’une) mais « un antécédent » (il peut y en avoir plusieurs).
Pour un nombre négatif, pense aux parenthèses : $(-3)^2 = 9$ , alors que $-3^2 = -9$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En météo : la température d’une journée est une fonction de l’heure. Si $T(14) = 23$ , il fait 23 °C à 14 h ; chercher les antécédents de 0, c’est chercher les heures où il gèle.
Dans un GPS : le temps de trajet est une fonction de la distance. À 90 km/h de moyenne, $t(d) = d \div 90$ : pour 180 km, $t(180) = 2$ heures.
En médecine : la quantité de médicament dans le sang est une fonction du temps. Le médecin regarde sa courbe pour savoir quand reprendre un comprimé.
Dans un tableur ou un programme : une fonction informatique, c’est exactement la machine de la leçon. La fonction prix(n) d’un site de cinéma renvoie $8n$ : prix(3) donne 24 €.
En physique : la distance de freinage d’une voiture dépend de sa vitesse. À 50 km/h, elle est d’environ 14 m ; à 100 km/h, d’environ 56 m : quatre fois plus !

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Louer un vélo coûte f(x) = 2x + 1 euros pour x heures. Combien coûte une location de 4 heures (en €) ? C’est l’image de 4.
f(5) = 12. Quelle phrase est juste ?
g(x) = x². Quelle est l’image de −3 ?
g(x) = x². Combien d’antécédents le nombre 16 a-t-il ?
Le bénéfice du stand de limonade est f(x) = 3x − 5 euros pour x verres vendus. Combien de verres faut-il vendre pour gagner exactement 1 € ? (antécédent de 1)
Le point A(2 ; 7) est sur la courbe de f. Que peut-on dire ?

Une machine à transformer les nombres

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Les pièges à éviter

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

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