3e 📈 Fonctions Étape 4 / 23 du parcours

Fonctions linéaires et fonctions affines

Fonctions linéaires et affines : la forme ax + b, le coefficient directeur, l’ordonnée à l’origine et la droite qui les représente, avec un graphique à manipuler.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : La notion de fonction

Une fonction affine, ax + b, se dessine toujours en ligne droite.

Salle A : 20 € par mois, plus 3 € par séance. Pour ${x}$ séances, on paie ${3x + 20}$ .

Salle B : 5 € la séance, sans abonnement, soit ${5x}$ . Leurs graphiques sont… des droites ! Elles se croisent à 10 séances, pour 50 €.

Les définitions

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction de la forme

f(x) = ax + b

où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés. Le nombre $a$ s’appelle le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.

Fonction linéaire

Quand $b = 0$ , la fonction s’écrit $f(x) = ax$ : c’est une fonction linéaire. Une fonction linéaire est donc un cas particulier de fonction affine.

Quelques exemples :

$f(x) = 3x + 20$ est affine, avec $a = 3$ et $b = 20$ ;
$g(x) = 5x$ est linéaire (donc aussi affine), avec $a = 5$ et $b = 0$ ;
$h(x) = -x + 4$ est affine, avec $a = -1$ et $b = 4$ ;
$k(x) = 7$ est affine, avec $a = 0$ : on dit qu’elle est constante ;
$m(x) = x^2 + 1$ n’est pas affine, à cause du carré.

Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité : avec $g(x) = 5x$ , si tu fais deux fois plus de séances, tu paies deux fois plus. Ce n’est pas le cas de $f$ , à cause des 20 € fixes.

Un peu d’histoire

Le mot « fonction » a été employé pour la première fois dans un sens mathématique par Leibniz, vers 1692-1694, dans des échanges avec Jean Bernoulli. Mais c’est le Suisse Leonhard Euler qui a imposé la notation $f(x)$ , vers 1734. Avant, les mathématiciens parlaient de « quantités qui varient » et décrivaient tout avec des phrases ou des courbes. Euler, l’un des mathématiciens les plus productifs de l’histoire, a continué à publier des dizaines d’articles même après être devenu presque aveugle !

La droite qui représente la fonction

Représentation graphique

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Celle d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.

Déplace les curseurs $a$ et $b$ . Observe le point violet sur l’axe vertical, et le petit escalier en pointillés : on avance de 1 vers la droite, et on monte (ou on descend) de $a$ . Mets $b$ à 0 pour obtenir une fonction linéaire.

Tu as pu remarquer deux choses :

$b$ fixe la hauteur de la droite : c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées, car $f(0) = a \times 0 + b = b$ .
$a$ fixe l’inclinaison : quand $x$ $x$ augmente de 1, $f(x)$ $f (x)$ augmente de $a$ $a$ .
- si $a > 0$ , la droite monte (la fonction est croissante) ;
- si $a < 0$ , la droite descend (la fonction est décroissante) ;
- si $a = 0$ , la droite est horizontale.

Tracer la droite à la main

Pour tracer une droite, deux points suffisent. On en calcule souvent un troisième pour vérifier.

Tracer f(x) = 2x − 1

On calcule deux images : $f(0) = -1$ et $f(3) = 2 \times 3 - 1 = 5$ .
On place les points $A(0 \,;\, -1)$ et $B(3 \,;\, 5)$ .
On trace la droite $(AB)$ .
Vérification : $f(1) = 1$ , et le point $(1 \,;\, 1)$ est bien sur la droite.

Retrouver a et b

Parfois, on connaît deux valeurs de la fonction et on doit retrouver la formule.

Calcul du coefficient directeur

Si $f$ est affine et que l’on connaît $f(x_1)$ et $f(x_2)$ , alors

a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

C’est « l’écart des images divisé par l’écart des nombres de départ ».

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Si $f(x) = ax + b$ , alors

f(x_2) - f(x_1) = (a x_2 + b) - (a x_1 + b) = a x_2 - a x_1 = a\,(x_2 - x_1)

Le $b$ disparaît ! En divisant par $x_2 - x_1$ (qui n’est pas nul), on trouve $a$ . Ce calcul montre aussi pourquoi la courbe est une droite : entre deux points quelconques, la « montée » est toujours égale à $a$ fois l’« avancée ». Tous les petits escaliers ont la même pente, donc les points sont alignés.

Le prix du taxi : f(1) = 5 et f(4) = 11

Une course de taxi de 1 km coûte 5 € ; une course de 4 km coûte 11 €. Le prix est une fonction affine $f$ de la distance. Retrouvons sa formule.

Coefficient directeur : $a = \dfrac{11 - 5}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$ .
Donc $f(x) = 2x + b$ . Avec $f(1) = 5$ : $2 \times 1 + b = 5$ , donc $b = 3$ .
Conclusion : $f(x) = 2x + 3$ . Vérification : $f(4) = 8 + 3 = 11$ . ✔

Le taxi fait payer 2 € par km (c’est $a$ ) plus 3 € de prise en charge (c’est $b$ ).

Pour une fonction linéaire, c’est encore plus simple : il suffit d’un seul point. Si $g(4) = 10$ , alors $a = 10 \div 4 = 2{,}5$ , et $g(x) = 2{,}5x$ .

Retour à la salle de sport

À partir de combien de séances l’abonnement devient-il plus avantageux ? On cherche quand $3x + 20 < 5x$ : cela donne $20 < 2x$ , soit $x > 10$ . Sur un graphique, c’est à partir de 10 séances que la droite de l’abonnement passe sous celle du paiement à la séance.

Les pièges à éviter

Attention

Dans $f(x) = 4 - 3x$ , le coefficient directeur est $a = -3$ (et non $4$ ) : c’est le nombre devant $x$ , avec son signe.
Toute fonction linéaire est affine, mais une fonction affine n’est linéaire que si $b = 0$ .
$b$ se lit sur l’axe des ordonnées (vertical), pas sur l’axe des abscisses.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour choisir un forfait : un forfait mobile à 10 € plus 2 € par Go ( $2x + 10$ ) contre un forfait sans abonnement à 4 € le Go ( $4x$ ). Les deux droites se croisent à $x = 5$ Go : au-delà, le premier forfait gagne.
En voiture : une voiture qui roule à 110 km/h sur l’autoroute parcourt $d(t) = 110t$ km : c’est une fonction linéaire. En 2 h 30, elle fait 275 km.
Pour la température : on convertit les degrés Celsius en Fahrenheit avec la fonction affine $F = 1{,}8C + 32$ . À 20 °C, il fait 68 °F.
Pour un plombier : un dépannage coûte 40 € de déplacement plus 50 € de l’heure, soit $50x + 40$ . Pour 2 h de travail, la facture est de 140 €.
En randonnée : en montagne, la température baisse d’environ 0,6 °C tous les 100 m. S’il fait 15 °C en bas, à $x$ centaines de mètres plus haut il fait $15 - 0{,}6x$ : à 1 000 m de plus, environ 9 °C.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Laquelle de ces fonctions est linéaire ?
Une bougie mesure 5 cm et raccourcit de 2 cm par heure : sa hauteur après x heures est f(x) = 5 − 2x. Quel est le coefficient directeur a ?
f(x) = 3x − 4. En quelle ordonnée la droite coupe-t-elle l’axe des ordonnées ?
La droite d’une fonction affine descend de gauche à droite. Que peut-on dire de a ?
f est affine, f(0) = 1 et f(2) = 7. Que vaut a ?
Un robinet coule régulièrement : la quantité d’eau est une fonction linéaire g du temps. En 5 minutes, il remplit 15 L. Combien de litres en 8 minutes ?