2nde 📈 Fonctions Étape 6 / 23 du parcours

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée en 2nde : définition sur [0 ; +∞[, courbe, croissance, comparaison de x, x² et √x, et exemples concrets.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les racines carrées , La notion de fonction

La fonction racine carrée monte toujours, mais de moins en moins vite.

Une pelouse carrée de 50 m² ? Son côté mesure ${\sqrt{50} \approx 7{,}07}$ m.

Au collège, tu calculais les racines carrées une par une. En seconde, on les regarde toutes ensemble, comme une fonction.

Définition

La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par :

f(x) = \sqrt{x}

où $\sqrt{x}$ est l’unique nombre positif dont le carré vaut $x$ .

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans $\mathbb{R}$ , puisqu’un carré n’est jamais négatif. C’est pourquoi la fonction est définie seulement sur $[0\,;\,+\infty[$ .

$x$	$0$	$0{,}25$	$1$	$2$	$4$	$9$	$16$	$100$
$\sqrt{x}$	$0$	$0{,}5$	$1$	$\approx 1{,}41$	$2$	$3$	$4$	$10$

Un peu d’histoire

Le symbole √ a une longue histoire. Au Moyen Âge, on écrivait souvent un « R » (pour le latin radix, la racine) devant le nombre. En 1525, l’Allemand Christoff Rudolff utilise dans un livre d’algèbre un signe proche de notre √ : on pense que c’est un petit « r » déformé. En 1637, René Descartes ajoute la barre horizontale au-dessus du nombre, qui montre jusqu’où va la racine : $\sqrt{9 + 16}$ n’est pas $\sqrt{9} + 16$ . Et le mot « racine » ? Il viendrait de l’arabe jidhr, la racine d’une plante, employé par al-Khwarizmi vers 820 : le carré « pousse » à partir de sa racine.

Voir la racine carrée

L’idée géométrique est simple : un carré d’aire $x$ a pour côté $\sqrt{x}$ . Déplace le curseur pour changer l’aire du carré orange (ou appuie sur ▶). Son côté, en vert, se reporte sur le graphique : le point violet dessine la courbe de la fonction racine carrée. Observe l’encadrement entre deux entiers quand l’aire n’est pas un carré parfait.

Remarque à quel point la courbe est raide au début, puis s’aplatit : pour passer de $\sqrt{0} = 0$ à $\sqrt{1} = 1$ , il suffit d’ajouter 1 à $x$ ; pour passer de $\sqrt{9} = 3$ à $\sqrt{16} = 4$ , il faut ajouter 7.

Les propriétés à retenir

Variations

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : si $0 \leqslant a < b$ , alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

$x$	$0$		$+\infty$
$\sqrt{x}$	$0$	↗

Pourquoi ? Pour $0 \leqslant a < b$ , on utilise la quantité conjuguée : $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \dfrac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \dfrac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ . Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, donc $\sqrt{b} > \sqrt{a}$ .

La courbe est une demi-parabole couchée : c’est le symétrique de la branche droite de la parabole $y = x^2$ par rapport à la droite $y = x$ . Normal : « élever au carré » et « prendre la racine » sont deux opérations qui se défont l’une l’autre pour les nombres positifs.

Comparer x, x² et √x

Si $0 \leqslant x \leqslant 1$ : $x^2 \leqslant x \leqslant \sqrt{x}$ . Par exemple $0{,}25^2 = 0{,}0625$ et $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ .
Si $x \geqslant 1$ : $\sqrt{x} \leqslant x \leqslant x^2$ . Par exemple $\sqrt{4} = 2$ et $4^2 = 16$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Prenons $0 \leqslant x \leqslant 1$ .

$x - x^2 = x(1 - x)$ est le produit de deux nombres positifs, donc $x - x^2 \geqslant 0$ , c’est-à-dire $x^2 \leqslant x$ .
Posons $y = \sqrt{x}$ . Comme la racine carrée est croissante, $0 \leqslant y \leqslant 1$ aussi. La ligne précédente, appliquée à $y$ , donne $y^2 \leqslant y$ , soit $x \leqslant \sqrt{x}$ .

Pour $x \geqslant 1$ , même idée : $x^2 - x = x(x - 1) \geqslant 0$ , puis on l’applique à $y = \sqrt{x} \geqslant 1$ pour obtenir $\sqrt{x} \leqslant x$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : la clôture d’un terrain carré

Un terrain carré a une aire de 500 m². Quelle longueur de grillage faut-il pour en faire le tour ?

Côté : $c = \sqrt{500} \approx 22{,}36$ m.
Encadrement pour vérifier : $22^2 = 484$ et $23^2 = 529$ , donc $22 < \sqrt{500} < 23$ . ✔
Périmètre : $4 \times 22{,}36 \approx 89{,}4$ m de grillage.

Exemple 2 : jusqu’où vois-tu à l’horizon ?

Par beau temps, la distance de l’horizon (en km) vue depuis une hauteur $h$ (en m) vaut environ $d = 3{,}57\sqrt{h}$ .

Debout sur la plage, tes yeux sont à 1,70 m : $d \approx 3{,}57 \times \sqrt{1{,}70} \approx 4{,}7$ km.
Au sommet d’un phare de 49 m : $d \approx 3{,}57 \times 7 \approx 25$ km.
Pour voir deux fois plus loin, il ne faut pas monter deux fois plus haut, mais quatre fois plus haut, car $\sqrt{4h} = 2\sqrt{h}$ .

Exemple 3 : comparer sans calculatrice

Comparer $\sqrt{0{,}7}$ et $0{,}7$ . Comme $0 \leqslant 0{,}7 \leqslant 1$ , on a $0{,}7 \leqslant \sqrt{0{,}7}$ . (À la calculatrice : $\sqrt{0{,}7} \approx 0{,}84$ .)

Les pièges classiques

$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ .
$\sqrt{x^2}$ vaut $|x|$ , et pas $x$ : $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ .
$\sqrt{x}$ n’est pas toujours plus petit que $x$ : c’est faux entre 0 et 1.
Pas de racine d’un nombre négatif : $\sqrt{-4}$ n’existe pas dans $\mathbb{R}$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Physique, chute libre : un objet lâché d’une hauteur $h$ arrive au sol à la vitesse $v = \sqrt{2gh}$ avec $g \approx 9{,}81$ . D’un plongeoir de 5 m, tu touches l’eau à environ $\sqrt{98{,}1} \approx 9{,}9$ m/s, soit 36 km/h.
Horlogerie : la période d’un pendule de longueur $L$ vaut $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{9{,}81}}$ . Un pendule de 1 m fait un aller-retour en environ 2 s ; pour doubler la période, il faut un pendule 4 fois plus long.
Écrans : une télévision de 55 pouces mesure 55 pouces en diagonale. Pour un écran 16/9, la largeur vaut $\dfrac{16}{\sqrt{16^2 + 9^2}} \times 55 \approx 48$ pouces, soit environ 1,22 m.
Médecine : la surface corporelle, utilisée pour doser certains médicaments, se calcule par $S = \sqrt{\dfrac{T \times M}{3\,600}}$ (taille en cm, masse en kg). Pour 170 cm et 65 kg : $S \approx 1{,}75$ m².
Statistiques : l’écart-type, qui mesure la dispersion des notes d’une classe, est la racine carrée de la variance. Une variance de 16 donne un écart-type de 4 points.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut √0,81 ?
Sur quel intervalle la fonction racine carrée est-elle définie ?
Entre quels entiers consécutifs se trouve √40 ?
Pour 0 < x < 1, quel nombre est le plus grand ?
Une salle carrée a une aire de 64 m². Quelle est la longueur d’un mur (en m) ?
Depuis une falaise de 100 m, la distance de l’horizon vaut d = 3,57√h km. Combien vaut d (en km) ?